Естественно, что для практики наибольший интерес представляют структуры, в которых эффект динамической развязки достигается простей­шими конструктивными мероприятиями. При этом наиболее предпочти­тельными являются те решения, в которых эффект достигается за счет

особенностей структуры и статического уравновешивания звеньев (как, например, для модели, представленной на рис. 8.3, а).

Исходя из изложенных выше результатов анализа, в качестве базовых элементов структуры целесообразно рассматривать разомкнутые кинема­тические цепи из трех звеньев, сочлененных двумя кинематическими парами пятого класса (см. рис. 8.2). "Достраивая" эти цепи звеньями и различными кинематическими парами, будем получать различные струк­туры, которые оценим с точки зрения сложности динамической развязки.

Для этого введем следующие степени сложности динамической развязки:

I — схемы, в которых развязка достигается только за счет структурных особенностей;

II — схемы, в которых для развязки дополнительно к I необходимо статическое уравновешивание звеньев за счет распределения их масс;

ІП — схемы, в которых требуется дополнительно к II обеспечить равен­ство моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей (уравновешивание моментов инерции звена) за счет распределения масс звена;

IV — схемы, в которых дополнительно к III требуется введение спе­циальных уравновешивающих механизмов с подвижными звеньями, поло­жение которых зависит от конфигурации руки.

В соответствии с данной классификацией структуры из двух взаимно перпендикулярных поступательных пар могут служить примером схемы сложности I; структуры, приведенные на рис. 8.3, а, в — примеры схем II; структура на рис. 8.3, г — пример схемы ПІ; структура на рис. 8.3, б — пример схемы IV.

Роботы, применяемые в настоящее время для обслуживания станков, из — за упорядоченности рабочего пространства чаще всего имеют 4 степени подвижности, которые обеспечивают объемное движение и необходимую ориентацию захвата. Поэтому в упомянутой процедуре построения и оценки структур ограничимся структурами с четырьмя степенями подвижности и рассмотрением комбинаций любых двух базовых структур.

Полученные таким образом схемы представлены в табл. 8.3. На каждой 4 схеме указаны степени сложности в зависимости от расположения осно­вания. Из всех возможных вариантов, различающихся параллельностью или перпендикулярностью осей смежных шарниров присоединенных друг к другу базовых структур, исключены те, которые не обеспечивают четырех степеней подвижности захвата как твердого тела.

Структуры, удовлетворяющие минимальной сложности II, выделены двойной рамкой, структуры сложности III, требующие уравновешивания моментов инерции только одного последнего звена цепи, выделены пунк­тирной рамкой и, наконец, штрихпунктирной рамкой выделены структуры (сложности III), наиболее распространенных моделей промышленных роботов. Заметим, что в моделях роботов PUMA и KUKA наблюдается тенденция к размещению масс звеньев, удовлетворяющему условию дина­мической развязки.

Очевидная рекомендация, вытекающая из проведенного рассмотрения, заключается в следующем. При выборе структуры робота для обслужи-

вания станка в первую очередь целесообразно выбирать в качестве альтер­нативных вариантов схемы с минимальной сложностью механизмов уравно­вешивания.

Рассмотрим подробнее одну из таких схем (рис. 8.22). Структура скелета механической руки по этой схеме соответствует структуре промышленных роботов: Scara, ТУР-2,5 и др. Однако в этих конструкциях идеи динами­ческой развязки не реализованы в полной мере. Представим себе конст­рукцию, отвечающую рекомендациям, изложенным в настоящей главе и в предыдущих главах.

Выбранная структура скелета механической руки обеспечивает перенос объекта и его ориентацию в плоскости, перпендикулярной осям враща­тельных кинематических пар, и выход из этой плоскости перпендикулярно ей. Этим определен объем рабочей зоны.

Целесообразно расположить робот в пространстве так, чтобы оси вра­щательных пар были вертикальными. Тогда нетрудно за счет "структурной" развязки привода поступательного (вертикального) перемещения захвата и собственно привода захвата друг от друга и от остальных приводов

(например, так, как показано на рис. 8.23) полностью устранить статические нагрузки, обусловленные весом звеньев, весом объектов манипулирования1 и усилиями зажима объектов в захвате, на приводы перемещения и ориен­тации захвата в горизонтальной плоскости. Нагрузки на последние будут определяться (если пренебречь трением в подшипниках) только динамикой. Согласно концепции динамической развязки желательно:

а) центры тяжести захвата, ползуна 4 и объекта манипулирования располагать на оси третьей вращательной пары;

б) установкой противовесов на втором подвижном звене добиться его статической сбалансированности с учетом масс звеньев, образующих после­дующие кинематические пары, захвата и среднего по массе объекта мани­пулирования;

в) установить приводы и ориентации захвата на основании и связать их кинематическими передачами со звеньями так, чтобы матрица частных передаточных отношений была треугольной с единичными значащими элементами.

Рис. 8.22. Структура скелета механической руки, для которой требуются механизмы динамической развязки второй степени сложности

О — основание, 1, 2, 3 — звенья присоеди­няемые вращательными кинематическими пара­ми, 4 — звено, присоединяемое поступательной кинематической парой (ползун), 5 — ведущее звено механизма захвата

Кинематическая схема этой части робота — плоский трехзвенный маятник с вынесенными на основание мотор-редукторами — представлена на рис. 8.24. От мотор-редукторов к звеньям механической руки протянуты приводные кинематические цепи, выполненные в виде гибких звеньев (тросов) и роликов, установленных на осях кинематических пар скелета руки. Частные передаточные отношения этих цепей равны единице. При этом система координат выходных валов приводов |/ характеризует абсолютные угловые перемещения звеньев скелета руки

Yi = <7i> Y2 = <7i+<?2> У і = Яі * Яг * Яз-

Используем в качестве приводов робота электродвигатели и редукторы. Очевидно, два привода — привод подъема и привод собственно захвата — можно и нужно установить на втором подвижном звене так, чтобы их массы служили противовесами. На рис. 8.23 в качестве уравновешивающих масс звена 2 использованы мотор-редукторы приводов подъема захвата 6 и собственно захвата 8. Кроме того, для исключения динамического влияния роторов этих двигателей на приводы перемещения захвата в горизон­тальной плоскости оси роторов двигателей должны быть перпендикулярны оси второго шарнира. Передаточные отношения редукторов этих двух приводов определяются в основном статическими нагрузками. Их выбор при известных характеристиках устанавливаемых двигателей трудности не представляет. Чтобы установить влияние величин передаточных отношений редукторов в приводах с приближенной динамической развязкой (которые являются приводами перемещения и ориентации захвата в горизонтальной плоскости) на динамические свойства этой части системы и правильно выбрать передаточные отношения редукторов в этих приводах, необходим дополнительный более подробный анализ.

Для схемы, приведенной на рис. 8.24, выберем в качестве звеньев при­ведения масс и моментов инерции двигателей и редукторов первое подвиж­ное звено руки и входные ролики приводных кинематических цепей. Поло­жения этих элементов характеризуются координатами уь |/2, у3. Рассмот­рим случай, когда не выполнены условия статического уравновешивания масс второго и третьего подвижных звеньев и, следовательно, не выпол­нены условия динамической развязки. На рис. 8.24 указаны все инерцион­ные характеристики системы, учтенные при составлении выражения кине­тической энергии

W = 0,5 [У? (7! + /пр1 + /") + j/2 (12 + /пр2 +1") + V3 {h + Аірз + К’) +

+ 2yly2Mllll2 cos(|/2 — |/,) + 2f {if гМ2ІхІі cos(|/3 — v|/x) +

+ 2j/2j/3A/2/2Z3 cos(|f3 — |/2)],

где

Ml=tn3+mc+m6+(p2/ l2)m2,

M2 = mc + (p3/l3)m3,

Ix= Ix + m, pf + (m2 + m’5 + m’6’+m6 + пц+ mc)lf,

I2 —I2 "і* Ш2Р2 Ч — wig Ч — /и^)/2 — I- /^j

h = h ^ЬРз ■*" mch ^6»

1npjt — ^дв/t ^ред к ’ 1,2,3).

Как видно, в принятых обобщенных координатах у диагональные эле­менты матрицы инерционных коэффициентов суть константы. Чем больше их значения по сравнению с амплитудными значениями недиагональных элементов, тем более динамически развязана система по этим координатам. Этот эффект зачастую усиливают электроприводы в робототехнических устройствах. Использование в качестве приводных высокооборотных элект­родвигателей требует установки редукторов с большим передаточным отношением 1реД =100-200. В этом случае даже при малом моменте инерции /д„ ротора двигателя приведенная к обобщенным координатам робота величина момента инерции ротора двигателя, равная 7прі (і = 1, 2, 3), соизмерима или даже превышает приведенные к обобщенным координатам инерционные характеристики звеньев системы и их изменения в процессе смены конфигураций. Это обстоятельство способствует приближенной динамической развязке системы по координатам у даже в случае, когда не выполнены условия статического уравновешивания третьего подвижного звена руки и второго звена с учетом присоединяемых к нему масс третьего звена и объекта манипулирования. Именно поэтому при электромеха­ническом приводе робота с большим передаточным отношением редуктора удается успешно применять автономные регуляторы [28] с неизменяемыми параметрами. Естественно, когда выполнено упомянутое уравновешивание, система полностью динамически развязана и выбор передаточного отно­шения редуктора следует проводить по динамическим требованиям к при­воду каждой отдельной степени подвижности. При этом в зависимости от типа робота (цикловой, позиционный или контурный) меняются критерии и основные задачи синтеза привода.

Для робота с контурной системой управления основная задача синтеза следящего привода — обеспечение заданной точности воспроизведения программы движения при минимальных потерях преобразуемой энергии — рассмотрена в [27]. Специфическая задача синтеза привода циклового промышленного робота с рекуператором механической энергии, заклю­чающаяся в обеспечении надежной работы при минимуме энергозатрат, рассмотрена в гл. 9 (книга 2).

Здесь мы в качестве примера рассмотрим некоторые задачи синтеза привода позиционного электромеханического робота. Пусть для привода робота по координате |/; при реализованных условиях динамической раз­вязки с приведенным к выходному валу редуктора моментом инерции меха­нической руки 7 = const (без момента инерции двигателя) по предварительно заданным среднему перемещению jjr., силе трения, режиму движения с

заданными постоянными ускорением и замедлением при нулевых началь­ных и конечных условиях ориентировочно определена необходимая мощ­ность двигателя и выбран электродвигатель постоянного тока со следую­щими характеристиками: пусковой момент — Л7„; коэффициент вязкого трения — ki момент инерции ротора — 7ДВ; момент холостого хода Мхх. С учетом инерционных характеристик двигателя приведенный к выходному валу редуктора момент инерции системы по координате |f, будет 7 + 7дві2. Требуется выбрать передаточное отношение і редуктора таким, чтобы на заданном среднем перемещении j/y при нулевых начальных и конечных

условиях время движения было минимально. Справившись с этой задачей и сравнив полученное время движения с требуемым, после теплового расчета сделаем окончательный выбор двигателя.

Здесь нас будут интересовать лишь физические особенности процессов при решении поставленной оптимизационной задачи. Поэтому для про­стоты положим Мтр = Мхх = 0. Если бы комплектный электропривод обеспе­чивал постоянный момент, например М„, на выходном валу двигателя (неза — висимо от скорости последнего), то поставленная задача имела бы следую­щее очевидное решение.

Максимальные ускорения в системе, обеспечивающие минимум времени при релейном переключении управления (момента двигателя) на половине заданного перемещения, будут

Y, = Mn/(/+v2).

Найдем максимум xjjir., варьируя параметр і. Приравняв нулю производную последнего выражения по і, найдем условие экстремума

і=7щ;. (8.44)

В большинстве случаев в задачу комплектного электропривода не входит поддержание постоянного момента, а его статическая характерис­тика имеет вид, представленный на рис. 8.5. С учетом этого получается, что лишь на участках торможения момент двигателя постоянен и равен |МП |. На участках разгона движение по координате щ описывается уравнением

(7+7„/)X(/.+^V; = Mni.

При нулевых начальных условиях решением этого уравнения будет

¥. =^е~*,’,2’/(/+/дв‘2) -1^[МП(7 + /ДВ/2)/&|2і3] + Мпґ/кі.

В соответствии с этим решением для частного случая (I = 0,007 кг • м2,

М„ = 0,02 Н • м, 7ДВ = 0,29 • 10-5 кг • м2, кх = 7,5 • 10-5 Нм- с/рад) построим

кривые разгона для разных значений і (рис. 8.25, а). Для этого примера значение і (равное ~48), рассчитанное по уравнению (8.44), близко к опти­мальному лишь на малых перемещениях. Как видно, большие смещения быстрее осуществляются в системах с меньшим передаточным отношением. При этом с увеличением к{ этот эффект проявляется резче (рис. 8.25, б).

Рис. 8.26. Зависимость минимальных времен с

перемещения инерционного элемента с нуле — 0,7 — выми начальными и конечными скоростями от величины передаточного отношения і редуктора

0,6-

Очевидно, что решение задачи с уче­том разгона и торможения для задан­ного перемещения Дф, приведет к

0,5-

оптимальному передаточному отно­шению іопт меньшему, чем следует из, , , ,

уравнения (8.44). Результаты расчета 0 10 20 30 40 »’

минимальных времен перемещения

системы на величину Д{г, = 2 рад для к =15 • 10-5 Нм — с/рад при различ­ных передаточных отношениях і редуктора представлены на рис. 8.26. Видно, что оптимальное значение і равно ~20. Фазовый портрет движения системы при і = 20 представлен на рис. 8.27, а.

С увеличением передаточного отношения і уменьшается значение установившейся скорости при разгоне, а выход на нее становится более крутым. Для сравнения на рис. 8.27, б приведен фазовый портрет системы при і = 40. Усиливается также крутизна траектории на участке торможения. Несмотря на то, что общее время движения растет (за счет участка уста­новившегося движения на небольшой скорости), максимальные значения ускорений при разгоне и торможении резко увеличиваются. Чтобы учесть этот факт, в системах с большим передаточным отношением редуктора необходимо программировать участки выхода на установившуюся скорость и торможения.

Уменьшение передаточного отношения редуктора позволяет смягчить процессы разгона и торможения и отказаться от программирования этих процессов. Наличие динамической развязки облегчает переход на низкие передаточные отношения редуктора (а в пределе — к безредукторному (і = 1) приводу позиционных роботов) и позволяет легко рассчитывать момент переключения. Конечно, для обеспечения достаточной точности позиционирования при малых рассогласованиях между программным значе-

Рис. 8.27. Фазовые портреты движения инерционного элемента при значениях переда­точного отношения редуктора 20 (а) и 40 (б)

НИЄМ координаты |/упр И действительным положением системы Ур должна включаться следящая система. Тенденция к снижению передаточ­ного отношения редуктора, связанная с использованием высокомоментных двигателей в робототехнике, привела к приводам, получившим название direct-drive — безредукторный привод. Действительно, достигнуто "качественное" повышение (в 3-4 раза) быстродействия промышленных позиционных роботов с таким приводом [30, 36]. Как следует из проведенного выше анализа, платой за повышение быстродействия является необходимость принудительного охлаждения двигателей, работаю­щих не на номинальных режимах, а на пусковых и в режиме торможения, т. е. при больших токах.

[1]В теоретической механике [15] известно понятие числа степеней свободы, представляю­щего собой также число независимых параметров, однозначно определяющих положение системы. Это более общее понятие распространяется не только на механизмы, но и на любые системы.

The post КЛАССИФИКАЦИЯ СТРУКТУР ПРОМЫШЛЕННЫХ РОБОТОВ ПО СТЕПЕНИ СЛОЖНОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ РАЗВЯЗКИ И ВЫБОР СТРУКТУРЫ РОБОТА ДЛЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ СТАНКОВ. ОСОБЕННОСТИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОГО ПРИВОДА first appeared on 3Д БУМ.

В более сложных случаях уравновешивающие массы, оснащаются соб­ственными приводами: например, являются поршнями пневмоприводов,

Рис. 8.21. Механизм динамического уравновеши­вания звеньев исполнительного устройства с учетом изменяемой инерционной нагрузки в схвате

срабатывающих при изменении состоя­ний захвата, как показано на рис. 8.21. Структура скелета механической руки содержит первую вращательную пару, ось которой перпендикулярна осям по­следующих вращательных пар, основа­ние 1, звенья 2, 3, 4 скелета механичес­кой руки, приводы 5, 6, 7 звеньев 2, 3, 4 соответственно, тросовую передачу 8, уравновешивающие массы 9 и 10 звена 3 с направляющими 11 и 12, уравно­вешивающие массы 13 я 14 звена 4 с направляющими 15 и 16. Приводы перемещения уравновешивающих масс 17-20 снабжены регулируемыми упорами.

Механическая рука действует следующим образом.

Регулируемые упоры и углы раствора направляющих 11 и 12, 15 и 16 механической руки настраивают таким образом, чтобы удовлетворить как условиям статического равновесия звеньев 3 и 4 (при наличии объекта манипулирования на свободном конце звена 4 и при его отсутствии), так и условиям равенства осевых моментов инерции 3 и 4 с учетом присоеди­няемых масс (также при наличии объекта манипулирования на конце зве­на 4 и при его отсутствии). При такой настройке приводы 5, 6, 7 не

испытывают взаимных динамических влияний через механическую руку, а система управления каждой степенью подвижности автономна.

The post Уравновешивающие механизмы с автоматически изменяемой наладкой first appeared on 3Д БУМ.

В качестве примера рассмотрим трехзвенную структуру робота-мани- пулятора, звенья которого соединены последовательно вращательными кинематическими парами пятого класса с последовательно-перпенди­кулярными осями (рис. 8.19).

Пусть в модели робота третье звено — твердое тело с массой т3, имею­щее ось симметрии в плоскости, перпендикулярной третьей вращательной паре. Свяжем с третьим звеном систему декартовых координат (03X3Y3Z3) с началом в центре масс звена. Ось Y3 направлена вдоль оси симметрии звена, ось Z3 параллельна оси третьей кинематической пары, ось Х3 дополняет систему. Обозначим р3 — расстояние от оси шарнира до центра масс третьего звена, 1„ /2 — главные центральные моменты инерции третьего

звена.

Выпишем выражение кинетической энергии третьего звена W3 (напом­ним предварительно, что в выражения кинетической энергии первого и вто­рого звеньев ни координата q3, ни обобщенная скорость q3 не входят)

W3 = 0, Бщ |^2 [(/, +12 cos q2 +р3 cos q2 cos q3)2 + p3 sin2 g3J +

+<?2 (l2 + Рзcos Яз )2 + ЯІР + 2ЯіЯг (^2+Рз cos q3 )p3 sin q2 cos q3 +

+2qxq3 [(/, +12 cos q2 )p3 cos q3 + p3 cos q2 ]J +

+0,5^/J.(^i sin q2 sin q3 + q2 cos q3)2 +

+1 у (<?1 sin q2 COS q3 — q2 sin q3 )2 +12 (qx cos q2+ q3 f.

Как было показано выше, чтобы кинетическая энергия третьего звена (а, следовательно, и всей системы) не зависела от положения третьего звена, необходимо выполнение по отношению к третьему звену условий Рз — О, 1Х — 1у

Для того, чтобы нагрузки на приводы первого и второго звеньев (где бы они ни были установлены) не зависели ни от скорости q3, ни от ускорения q3 третьего звена, необходимо, как следует из написанного выражения, соблюдение условия

2/г<ЗДз COS q2 = 0.

Для его выполнения в систему следует ввести механизм с уравновешиваю­щими маховиками. Действительно, если установить на оси шарнира симмет­рично плоскости X3Y3 ротор с двумя дисками и кинематически связать его с уравновешиваемым и предыдущим звеньями так, чтобы частное передаточ­ное отношение от уравновешиваемого звена к ротору было отрицательным

Рис. 8.20. Динамическое уравновешивание звеньев исполнительного устройства робота с последовательно ортогональными осями кине­матических пар

и равным по модулю отношению мо­мента инерции уравновешивающего ротора к моменту инерции уравнове­шиваемого звена, то в выражении кинетической энергии третьего звена с уравновешивающим механизмом появится дополнительный отрицатель­ный член (-2/2<7j<73 cosg2). За счет него и будет выполнено последнее условие.

Вариант кинематической схемы механической руки, включающий три вращательные пары с последовательно взаимно перпендикулярными осями, представлен на рис. 8.20. Показаны необходимые уравновешивающие мас­сы и расположение индивидуальных приводов звеньев руки. Здесь: 1 — основание, 2, 3, 4 — звенья скелета механической руки, 5, 6,7 — приводы звеньев 2, 3, 4 соответственно, 8 — тросовая передача, 9 и 10- уравновеши­вающие массы звена 3; 11 и 12 — уравновешивающие массы звена 4, установленные аналогично массам 9, 10; 13 и 14 — вращающиеся уравно­вешивающие диски звена 4; 15- кинематические передачи, обеспечиваю­щие связь между уравновешивающими дисками 13,14 и звеньями 3 и 4.

Уравновешивающие массы 9, 10 и 11, 12 подбираются таким образом, чтобы удовлетворить как условиям статического равновесия звеньев 3 и 4, так и условиям равенства осевых моментов инерции (в плоскостях пер­пендикулярных осям шарниров) этих звеньев. Суммарный момент инерции уравновешивающих дисков 13, 14 должен быть равен 1г звена, деленного на модуль передаточного отношения от дисков к звену, а направление вра­щения дисков 13,14 противоположно направлению вращения звена 4.

The post Механизмы д инамического уравновешивания с противовращением first appeared on 3Д БУМ.

Рассмотрим две частные схемы исполнительных устройств с п степе­нями подвижности. Модель, приведенная по рис. 8.16, представляет собой плоскую л-звенную разомкнутую кинематическую цепь с вращательными парами пятого класса (m(,/0i — масса и центральный момент инерции і-го звена соответственно). Для этой модели представим кинетическую энергию в виде двух слагаемых: первое — сумма кинетической энергии центров масс

п

Wi=0,5]T т, У02, второе — сумма кинетических энергий, обусловленных вра-

/=1

" (‘ Y

щением звеньев вокруг центров масс W2=0,5^/0( . Второе сла-

;=i U=i j

гаемое не зависит от обобщенных координат, поэтому при выводе условий цикличности координат его можно из рассмотрения исключить.

Обозначим через линейную скорость і-го шарнира кинематической цепи (V, s 0). Тогда выражение для квадрата линейной скорости центра масс і-го звена цепи можно записать в виде

где

У1у, Уы — проекции линейной скорости /-го шарнира на оси Y, X соот­ветственно.

Отсюда следует, что обобщенная координата qn входит только в по­следнее слагаемое суммы W] кинетических энергий центров масс, коор­дината — в два последних слагаемых этой суммы, qn_2 — в три, и т. д. С учетом сказанного выражение для W] можно записать так

Pt

j=i ) J=1 v*=1

Условия цикличности і-й обобщенной координаты (2 < і < п — 1) рас­сматриваемой модели получим, приравняв нулю коэффициенты при

Vjy cos( 2 <7* I ~ ^ sin ^qk

k=1 ,

п

рj=l, ]Г mk/mj.

*=;+i

Координата ql — циклическая при любых соотношениях параметров модели, а рп = 0 — условие цикличности координаты q„. При выполнении последнего условия и (п — 2) условий (8.40) все координаты модели циклические, а

Условия (8.40) означают уравновешенность і-го звена с присоединенными к нему в (і + 1)-м шарнире последующих масс звеньев относительно і-го шар­нира и аналогичную уравновешенность всех последующих звеньев.

Относительно звеньев модели, представленной на рис. 8.17, будем пред­полагать, что для звеньев, связанных с предыдущим звеном вращательной кинематической парой пятого класса, динамическое размещение масс можно произвести в плоскости, перпендикулярной оси пары. Геометрия масс звеньев предполагается таковой, что в плоскости точек размещения масс существует ось симметрии (на рис. 8.17 ось Xh і = 1, 2,…, л). Будем оце­нивать инерционные свойства звеньев массой т„ моментом инерции /0, и осевыми моментами Іхі и Іуі относительно центральных осей звеньев в плоскости размещения масс.

Рассмотрим сначала случай п = 2 (рис. 8.18) — тороидальный маятник. Второе звено этой модели совершает пространственное движение, которое можно рассматривать как сумму поступательного движения с центром масс звена и вращения вокруг центра масс. Согласно принятым моделям звеньев (X; и Z, — главные центральные оси инерции звеньев) тензор инерции і-го звена в точке, совпадающей с его центром масс, будет

hi 0 0

I, = 0 Іуі 0 , І2І = /0,- = Іхі + Іуі,

.0 о І2І_

а составляющая кинетической энергии, обусловленная вращением и вы­раженная через квазискорости (0и, се>2(- и <% — проекции вектора вращения со звена на оси системы координат, связанной со звеном, имеет вид

W* = 0,5[/Х1.С02 + /я.<. + (Ixi + /,,,) ©з,].

Зная зависимость квазискоростей <ю1(, ©г,- и сйз, от углов Эйлера [у], [й] и [ф] (углы прецессии, нутации и чистого вращения соответственно) и их про­изводных по времени [22], с учетом следующего соответствия между углами Эйлера и принятыми обобщенными координатами модели (см. рис. 8.18):

[у] = 4і> [Ф] = я/2 = const, [ф] = q2,

получим выражение кинетической энергии в принятых обобщенных коор­динатах в виде

W = 0,5{(m, pf +/01)<?і2 +щ[рІЯІ +(h+p2 cos ЯіїІЇ] +

+ Uxl sin Ч2 1у2 СО® Чі ] Я А)2*?2 } •

Отсюда следует, что условия цикличности и одновременно ортогональ­ности обобщенных координат и q2 модели принимают вид р2 = 0 и Jх2 = Jy2- При моделировании геометрии масс звеньев замещающими точ­ками в рассматриваемом случае условия цикличности обобщенных коор­динат соответствуют совпадению центра масс замещающих точек второго звена с осью кинематической пары и равенству центральных осевых момен­тов инерции масс точек в плоскости их размещения

2тл2=Хтл2-

м м

Viz, Vu — проекции скорости центра масс і-го звена на оси Z и X, соответст­венно; W5 — энергия смещения центров масс звеньев перпендикулярно плоскости (п — 1)-звенной цепи

-а

(8.41)

j=2

Приравняв нулю коэффициенты при sin i|<) и cos i|<) в выражениях W4 и W5 (после подстановки (8.41)), с учетом того, что координата qt (і > 2) входит слагаемым не только в |/м, но и в |/) при n>j> і, получим первую группу необходимых условий ЦИКЛИЧНОСТИ координаты <7,

Р„=0>

Как видно, эти же условия являются необходимыми условиями цикличности обобщенных координат qj (j > і).

Сложив W3 и W5 и приравняв нулю коэффициенты при cos2|/j и sin2|/„ с

учетом выполнения условий (8.42) напишем вторую группу необходимых условий цикличности координаты д.

Ixj = Iyj = myp2 +lj X mk, j = n -1, n — 2,…, і +1, і.

k=j+1

Выполнение условий (8.42) и (8.43) обеспечивает цикличность всех координат qj и одновременно цикличность и ортогональность координат

В этом случае координата не только циклическая, но и орто­гональная по отношению к координатам В соответствии с полу­ченными условиями (8.42), (8.43) необходимо, во-первых, i-e звено (і Ф 1) и все последующие звенья уравновесить относительно присоединяющих шар­ниров с учетом присоединенных масс последующих звеньев и, во-вторых, обеспечить равенство друг другу центральных осевых моментов і-го звена (іФ 1) и всех последующих звеньев в плоскости размещения масс также с учетом присоединяемых масс последующих звеньев.

При выполнении найденных условий цикличности обобщенных коор­динат существенно упрощается задача стабилизации значения потен­циальной функции манипулятора, обусловленной гравитацией. В зависи­мости от расположения оси первой кинематической пары в гравитационном поле дополнительное уравновешивающее устройство может либо вообще не понадобиться, либо понадобится всего одно пружинно-уравнове — шивающее устройство для уравновешивания первого звена модели с учетом присоединенных к нему масс остальных звеньев.

Как следует из (8.42) и (8.43), с увеличением числа степеней подвиж­ности манипулятора обеспечение условий цикличности всех обобщенных координат приводит к быстрому росту масс звеньев и практически может быть достигнуто не всегда. Многое зависит от конкретных задач. Можно, например, пренебрегая инерционностью наиболее удаленных от основания звеньев, ограничиться уравновешиванием и динамической развязкой движе­ний наиболее инерционных звеньев, расположенных ближе к основанию. При этом желательно в качестве уравновешивающих масс использовать массы приводных двигателей, а требование соответствия их установки нор­мальным циклическим координатам обеспечивать специальными механи­ческими передачами.

The post Условия цикличности и ортогональности всех обобщенных координат в частных случаях структур механических рук с п вращательными кинематическими парами first appeared on 3Д БУМ.

Рис. 8.14. Назначение систем координат, в ко­торых рассматривается движение последнего звена модели руки с л-й поступательной кине­матической парой

подвижных систем координат 0 и 0„ соотношением р = q„ — у, где у = const.

В выражении кинетической энер­гии вида (8.36) в этом случае лишь пер­вое слагаемое зависит от q„. Скорость центра масс л-го звена в неподвижной системе координат определена линей­ной скоростью V0 центра подвижной системы координат 0XYZ, угловой

скоростью £1 предпоследнего звена, радиусом-вектором р и его произ­водной

Vn=V0 + qn + ftxp.

Используя проекции векторов V0 и С1 на оси системы координат 0XYZ, а именно

V0=iv,+jvy+kvx, Л = + j£2y + k£2z

и условие р = k(qn — у), получим после подстановки и преобразований вы­ражение для квадрата абсолютной скорости центра масс последнего звена

V2 = V02 + р2(п2х + tfy) + q2„ +2p(Vxny — vpx) + 2vzq„.

Выполнение условий £2, = 0 и С1У = 0, обеспечивающих независимость вы­ражения для V2 от обобщенной координаты qn, аддитивно входящей в вы­ражение р, приводит к частным случаям, когда механизм без последнего

звена является плоским, причем плоскость движения его звеньев перпен­дикулярна оси Z. Такое "структурное" обеспечение цикличности последней координаты охватывает небольшое число возможных схем. Очевидно, что для всех остальных схем никакое уравновешивание с помощью жестко соединенных со звеном масс не приведет к желаемому результату.

Вместе с тем может оказаться целесообразным создание уравновеши­вающего механизма, движение которого связано с изменением q„ и обеспе­чивающего условие р = const. Такое уравновешивание легко осуществить с помощью одной массы. Однако в этом случае моменты инерции 1т и 1У„ становятся переменными и равны 1т = / = mnq2n + Ml} или 1т = 1уп = 2mnql

при М = т„, т. е. второе слагаемое в выражении для W„ становится зави­симым от q„. Поэтому уравновешивающий механизм должен обеспечивать не ТОЛЬКО условие р = const, НО И выполнение условий Im = const, 1у„ = const.

Совместно выполнить эти условия с помощью лишь одной уравно­вешивающей массы нельзя. Очевидно, что какой бы уравновешивающий механизм не был создан, он сможет обеспечить условия Ixn = const, 1уп = const на некотором ограниченном интервале | qn < qnmax.

В противном случае, при неограниченном увеличении qn будет неогра­ниченно возрастать момент инерции Таким образом, добиться

цикличности последней обобщенной координаты, как следует из выраже­ния для V2, можно, если предложить механизм, который перемещает уравновешивающие массы в зависимости от изменения q„ так, чтобы общий центр масс звена и механизма не менял своего положения относительно звена, а главные моменты инерции системы, состоящей из последнего звена и уравновешивающего механизма, оставались постоянными.

Пусть, например, механизм уравновешивания содержит две одинаковые уравновешивающие массы Мх = М2 = М. Тогда легко написать зависимости координат Z] 2 уравновешивающих масс в функции координаты qn. Дейст­вительно, с учетом первого и второго условий можем записать

mnqn + Mzx + Mz2 = О

I + mnq2 + Mz2 + Mz = const = Id,

где к — постоянное число, / — главный центральный момент инерции по­следнего звена относительно оси Х„.

Решая эти уравнения совместно, получим

42 = [-mnqn±421M{k-)-2mnMql-miq2n )/2М.

Видно, что значение константы к ограничено снизу и определено мак­симальной координатой <7„тах* Вместе с тем, как следует из выражения, отражающего второе условие, для уменьшения момента инерции звена с уравновешивающим механизмом желательно выбирать величину к мини­мально возможной, т. е.

* = *min =[(2Mnnq2nmax +тп24„2тах)/2/м] + 1.

В этом случае

zu = Яп ±л/(т« +2Мт„)(<7п2тах -<?„) j/2M

и максимальный ход масс М согласован с максимальным смещением тп.

Пример построения такого механизма для модели с тремя степенями подвижности представлен на рис. 8.15. Здесь используются синусные меха­низмы для привода двух уравновешивающих кольцевых масс М, = М2 = т2, выполненных в виде ползунов, установленных с возможностью перемеще­ния вдоль оси Z. При этом движение от последнего звена модели передается через кривошип 1 жестко связанным с ним кривошипам 2 и 3 привода урав­новешивающих масс. Произведя замену переменной qn = I cos Т| СП — угол поворота кривошипа 1,1- его длина), а также выбрав длины кривошипов

Рис. 8.15. Схема механизма динамического уравновешивания звена руки, присоединяе­мого поступательной кинематической парой

l{ = l2 = I и фазу кривошипов 2 и 3 относительно кривошипа 1, равную 120°, получим законы движения уравновешивающих масс

Zj = /cos(T) + 120°), z2 = /cos(r|-120o).

Очевидно, что в этом случае центр трех масс Мх, Мг и тп не будет

смещаться вдоль осей X, Y, Z, а момент инерции системы относительно любой оси, перпендикулярной оси Z, будет постоянным. Таким образом, условия цикличности последней обобщенной координаты выполнены.

The post Условия цикличности обобщенной координаты qn. Случай л-й поступательной кинематической пары first appeared on 3Д БУМ.

а) неподвижная система координат QqXqY^Zq, связанная с основанием;

б) подвижная система координат 0XYZ, связанная с предпоследним зве­ном л-звенной модели, ось Z которой совпадает с осью л-й кинематической пары;

в) подвижная система координат 0„X„Y„Z„, связанная с последним п-м звеном модели так, что ее начало совпадает с центром масс л-го звена, а оси координат совпадают с главными осями инерции звена. При этом, по предположению, ось Z„ параллельна оси последней кинематической пары.

Начало координат системы ОXYZ выбираем на оси Z так, чтобы вектор р, соединяющий точки 0 и 0„, был перпендикулярен осям Z и Z„. При таком

назначении систем координат, связанных с предпоследним и последним звеньями, угол ф между осью X и вектором р представляет собой сумму обобщенной координаты q„ и некоторой константы и, определяемой выбо­ром начала отсчета обобщенной координаты qn

Ф = Яя+ъ

Выражение кинетической энергии последнего звена имеет вид

W„ = 0,5mnV^2 + 0,5/qQ2, (8.36)

где т„ — масса л-го звена; V„ — модуль вектора скорости центра масс л-го звена в системе OqXqYqZq-, О, — модуль

вектора угловой скорости Л л-го звена в системе OqXqYqZq-, /п — центральный

момент инерции л-го звена относитель­но оси, параллельной вектору угловой скорости Л л-го звена. Далее,

V„ = V0 + ftxp,

где V0 — вектор скорости центра 0 сис­темы 0XYZ в системе OqXqYqZo.

Рис. 8.12. Назначение систем координат, в кото­рых рассматривается движение последнего зве­на модели руки с п-й вращательной кинемати­ческой парой

Векторы, входящие в правую часть последнего равенства, в проекциях на оси системы ОXYZ имеют вид

%=iVx+]Vy + kVt,

St — iSlx + jdy + kSlz,

p = p(j СОвф + j вІПф)

и следовательно, можно записать

V„ = і (Vx — І2гр sin (p) + j (Vy + І2гр cos ф) + k (V2 + £2хр sin ф — cos ф)

и далее

0,5 ту} = 0,5mn [v02 + p2£22 + p2(tix віпф — совф)2 +

(8.37)

+2p(-VxSlz sin ф + VyQ. z cos ф + sin ф — cos ф)].

Второе слагаемое в выражении (8.36) кинетической энергии в проек­циях на оси координат 0nXnYnZn можно записать так

0,5/nQ2 = 0,5(7^ + + 1гпП2т),

где 7да,7уп,7гп — главные центральные моменты инерции последнего звена.

Выразим проекции SI на оси системы 0nXnYnZn через введенные ранее проекции, QZ вектора на оси 0XYZ, используя матрицу поворота при

переходе от системы 0XYZ к системе 0nXnYnZn,

совф віпф 0 — віпф совф 0 .

0 0 1.

Получим

П = і£2Л + jQy + kQz = in (Qx cos ф + sin ф) + jn (-Q, sin ф + £2y cos ф) + knQz,

следовательно,

0,57n£22 = 0,5[7OT(Q;t совф + йу віпф)2 + /^(Q, віпф-Ц совф)2 + 7zn£22]. (8.38)

Как видно, в выражении W„ слагаемые (8.37) и (8.38) зависят от ф, а зна­чит и от q„. Чтобы слагаемое (8.37) не зависело от qn при |р| >0, кинемати­ческая схема должна обеспечивать одновременное выполнение следующих условий:

ах = 0, пу = 0, Vx =0, Vy = 0. (8.39)

Выполнение первых двух условий достигается в случае параллельности осей всех вращательных пар. Выполнение двух последних условий дости­гается в том случае, если за исключением последней, все кинематические

354

пары в модели поступательные, а их оси параллельны оси последней вра­щательной пары. Чтобы слагаемое (8.38) в выражении W„ не зависело от q„, достаточно выполнения двух первых равенств из (8.39). Выбор структур невелик.

Таким образом, в общем случае для обеспечения цикличности послед­ней обобщенной координаты требуется параметрическое решение — урав­новешивание последнего звена. Чтобы определить, каким должно быть уравновешивание, обратимся опять к выражениям (8.37) и (8.38).

Для того, чтобы (8.37) стало независимым от q„, достаточно выполнить условие | р | = 0, т. е. уравновесить звено так, чтобы центр масс звена нахо­дился на оси вращения последней кинематической пары. Чтобы (8.38) было независимым от q„, достаточно при уравновешивании выполнить условие 1хп = / . Если оси всех вращательных пар параллельны, то условие 1хп = 1уп

можно не выполнять.

Окончательно, если в произвольной схеме с последней вращательной парой распределение масс в последнем звене удовлетворяет условиям р = 0, один из главных центральных моментов инерции 12п совпадает с осью последней вращательной пары, а 1хп = /, то последняя обобщенная коор­дината — циклическая.

Рассмотрим два примера возможного уравновешивания последнего зве­на, приводящего к тому, что последняя обобщенная координата становится циклической.

Сначала проанализируем схему манипулятора, представляющего собой тройной плоский маятник, состоящий из невесомых жестких звеньев и сосредоточенных масс (рис. 8.13, а). Пусть последним звеном будет жесткий невесомый стержень с сосредоточенной массой /и3 на конце. Такая схема имеет две нециклические координаты q2viq3. Обобщенная координата <?! во всех рассматриваемых моделях циклическая. В этом проявляется один из законов сохранения — закон сохранения количества движения или момента количества движения. Так как оси всех вращательных пар параллельны, то достаточно уравновесить последнее звено так, чтобы вы­полнялось условие р = 0. Такое уравновешивание можно произвести с по­мощью одной уравновешивающей массы М3, жестко соединенной со звеном с помощью жесткого стержня длиной 1^, как показано на рис. 8.13, а пунктиром. Соотношение между массами тъ, М3 и длинами /3, L3 должно удовлетворять условию тъ1ъ = М 3L$. В такой системе две обобщенные координаты qx ts. q-i будут циклическими, т. е. мы добились поставленной цели.

Во втором примере (рис. 8.13, б) также две обобщенные координаты q2 и <7з нециклические. Модель отличается от рассмотренной выше тем, что оси первой и остальных вращательных пар не параллельны, точнее перпен­дикулярны.

Чтобы координата стала циклической, необходимо уравновесить последнее звено, при этом должны выполняться условия р = 0 и 1хп = 1уп. Очевидно, что совместного выполнения этих условий нельзя добиться с помощью лишь одной уравновешивающей массы, необходимы как минимум

две уравновешивающие массы. Пример уравновешивания звена двумя рав­ными массами М3, показан на рис. 8.13, б, причем точечная масса звена и уравновешивающие массы лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения последней кинематической пары. Для определения длины L3 (расстояние от оси шарнира до уравновешивающей массы) и угла ■& соста­вим в соответствии с приведенными условиями систему уравнений

2M3I3 cos’d = /П3/3,

2 Мгі sin2 Ф = + 2 Мгі cos2 Ф.

Если каждая уравновешивающая масса равна массе звена (Af3 = т3), то решение этой системы будет L3 = /3, Ф = 60°.

Таким образом, получены условия, при выполнении которых последняя обобщенная координата, соответствующая вращательной паре пятого клас­са, становится циклической.

The post Условия цикличности обобщенной координаты qn. Случай п-в вращательной кинематической пары first appeared on 3Д БУМ.

Покажем, что для любой структуры механической руки можно предложить такое уравновешивание последнего звена, при котором послед­няя обобщенная координата q„ будет циклической. Очевидно, полученные при этом решения могут быть использованы для уравновешивания и других звеньев.

Кинетическая энергия исполнительного механизма робота, представ­ляющего собой разомкнутую механическую систему, состоящую из п твердых тел, соединенных последовательно с помощью кинематических пар пятого класса, равна сумме кинетических энергий его звеньев

W = °,5XX^=IX

/=1 ;=1 /=1

і і

где ^ = 0,5^^^^^- кинетическая энергия і — го звена, а

*=і j=i

k=j

Для принятых нами обобщенных координат q манипулятора кине­тическая энергия і-то звена (W,) не зависит от обобщенных координат и скоростей qj, qj для j > і. Поэтому необходимым и достаточным условием

цикличности последней обобщенной координаты qn (в л-звенной схеме) будет независимость кинетической энергии и-го звена (W„) от координаты qn.

Проведем вывод условий цикличности последней обобщенной коор­динаты отдельно для случая, когда последняя кинематическая пара враща­тельная, и когда последняя кинематическая пара поступательная.

The post УСЛОВИЯ ЦИКЛИЧНОСТИ И ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ МЕХАНИЧЕСКОЙ РУКИ first appeared on 3Д БУМ.

1. Определение структуры руки (расположение осей кинематических пар, их число и длины звеньев) по геометрическим характеристикам тре­буемого рабочего объема.

2. Определение параметров силового взаимодействия руки робота с технологическим оборудованием и объектами манипулирования; выбор на этой основе силовых и скоростных характеристик приводов; построение кинематических цепей привода звеньев.

3. Оснащение робота функциональными механизмами: захватами, меха­низмом уравновешивания, механизмом устранения зазоров и т. п.

4. Выбор типа системы управления, исходя из требований обслуживания технологического процесса.

Опыт проектирования и эксплуатации систем, построенных по приве­денному алгоритму, показал, что все геометрические и скоростные пара­метры технологического процесса практически одинаково могут быть удовлетворены в рамках широкого класса структур за счет выбора длин звеньев и ограничений в кинематических парах. Поэтому решающими факторами выбора структуры все больше становятся технологичность конструкции робота и удобство оснащения его функциональными меха­низмами.

Кроме того, с повышением требований к скоростям движений звеньев механических рук промышленных роботов стало ясно, что синтез на кинематическом и статическом уровне недостаточен. Завышение мощности устанавливаемых двигателей не приводит к существенному повышению быстродействия робота, а утяжеление конструкции, обусловленное жела­нием повысить ее прочность, не повышает надежность системы из-за еще более быстрого роста динамических напряжений в конструкции. Для решения проблемы рационального проектирования быстродействующих промышленных роботов необходима разработка концепций построения робототехнических систем, учитывающих динамические эффекты, свойст­венные этим системам, и открывающих новые возможности для проекти­ровщиков. Одна из таких концепций, реализованная авторами данной монографии, — концепция динамической развязки движений по степеням подвижности механической руки [18] — направлена на максимально возмож­ное уменьшение эффектов динамических взаимовлияний, достигаемое средствами механики.

Оценим эффекты динамического взаимовлияния по степеням подвиж­ности механической руки, используя простейшую базовую модель, представленную на рис. 8.2, б. Ее структуру широко используют в конст­рукциях роботов, в частности в роботе Фанук-1. Уравнения динамики этой модели в случае вертикального расположения оси первого шарнира (см. табл. 8.2) имеют вид

+ 2тЯгЯгЯі = Qv mq2-mq2qx =Q2, (8.31)

где Qj и Q2 — моменты, развиваемые (воспринимаемые) приводами поворота и выдвижения соответственно.

Решая первую задачу динамики, зададимся величинами допустимых ускорений qx, q2 и максимальными скоростями qvq2- Пусть, например, qx = 1 с-2, qx =1 с-1, q2 = 1 м/с2, q2 =1 м/с. Рассмотрим движение системы из точки с координатами ql0 = 0, q20 = 0,5 м в точку с координатами qXk = 1 рад, q2k= 1,5 м по законам максимального быстродействия при Яю = Яго = Qik = Яг к = 0-

Для выбранной модели и назначенных ограничениях этот закон соот­ветствует максимальным ускорениям на половине пути по каждой из координат. Графики зависимостей изменения во времени моментов Q, и Q2 и их составляющих Qx = mqxq, Q[‘=2mq2qxq2, Q2 = mqx, Q2’=-mq2qx приве­дены на рис. 8.10. Видно, что 50% требуемого момента расходуется на ком­пенсацию динамического взаимовлияния степеней подвижности модели,

Рис. 8.10. Графики изменения во времени моментов приводов (и их составляющих) для простейшей базовой модели (полярная система) при реализации равноускоренных и равно­замедленных движений

обусловленного обменом энергии между приводами вследствие кориоли — совых и центробежных сил — Q" и Q2 соответственно.

Концепция динамической развязки движений открывает возможность достижения оптимума: максимальное быстродействие при минимальной установленной мощности. Существо и методы динамической развязки сводятся к следующему.

Условию отсутствия динамических взаимовлияний приводов соответст­вует система дифференциальных уравнений механической руки в коор­динатах выходных валов двигателей, каждое из которых содержит только одну такую координату и только ее производные. Это условие можно реа­лизовать наложением некоторых ограничений на коэффициенты уравнений путем выбора структуры механической руки, геометрии масс ее звеньев, структуры передач привода и введением уравновешивающих механизмов. Перечисленные мероприятия необязательно осуществлять одновременно.

В некоторых частных случаях задача динамической развязки решается на уровне структуры механической руки. Действительно, плоский стол с

двумя поступательными ортогональными парами, либо двухкоординат­ная структура, содержащая последовательные соосные вращательную и поступательную пары при диагональных матрицах частных передаточ­ных отношений Ар обеспечивают динамическую независимость движе­ний по отдельным координатам. Эти структуры являются классичес­кими примерами динамически развязанных систем. Задача состоит в том, чтобы системы любой структуры сделать аналогичными им по свойствам.

Достаточность принимаемых мер, что очень важно, можно оценивать не по дифференциальным уравнениям системы, а по выражению функции Лагранжа L = W — U. Необходимо, чтобы выражения кинетической энергии и потенциальной функции всей системы, записанные в координатах у выходных валов двигателей, имели вид

Wv =0,5и¥=ХГ(У,). і = й, (8.32)

1 1

где каждые И f?(уі) — функции только одной координаты у,.

Отсюда следует, что установка любых передаточных механизмов с одной степенью подвижности и любых нелинейных потенциальных на — гружателей или упругих элементов между выходными валами и стойками двигателей не может нарушить условие динамической развязки системы. Поэтому их можно исключить из рассмотрения. Заметим, что при уравно­вешенных силах тяжести (см. гл. 6) звеньев механической руки переменной составляющей в функции Лагранжа останется только кинетическая энергия системы. В дальнейшем предполагается, что при необходимости мы всегда можем уравновесить силы тяжести звеньев и обеспечить U = const. Поэтому в задачах анализа и синтеза динамически развязанных робототехнических систем потенциальная составляющая функции Лагранжа, обусловленная весом звеньев, игнорируется.

Даже при введенных предпосылках, конкретизирующих рассматривае­мые системы, задача синтеза динамически развязанных систем для общего вида функций кУ(Уі) остается до сих пор не решенной. Будем рассмат­ривать частный случай функции (¥,-)> а именно яУ(у,) = к? = const;

i = l, п. В этом случае для механических рук с постоянной матрицей Ар частных передаточных отношений первому выражению (8.32) в обобщен­ных координатах q руки будет соответствовать выражение кинетической энергии с постоянными коэффициентами Пу при квадратах обобщенных

скоростей qf и их произведениях qfij (i, j = 1,н). Следовательно, условием

решения задачи динамической развязки движений в рассматриваемом слу­чае является требование цикличности обобщенных координат меха­нической руки.

В соответствии с полученным результатом синтез динамически развя­занных механических рук со структурой скелета общего вида требует решения двух задач:

1) обеспечение независимости инерционных коэффициентов л? в

выражении кинетической энергии механической руки от ее конфигурации, т. е. от обобщенных координат q-,

2) путем приведения квадратичной формы выражения кинетической энергии к каноническому виду найти такую систему обобщенных координат (координат |/), которая обеспечивает разделение системы с п степенями

подвижности (и п обобщенными циклическими координатами q) на п независимых подсистем.

Во многих случаях конструктивно решение первой задачи достигается введением специальных уравновешивающих механизмов, а второй — путем синтеза структуры передач привода.

Проиллюстрируем решение сформулированных задач на примере простой модели. Начнем с рассмотрения особенностей простейших базовых моделей, проявляющихся при решении поставленных задач. Для простей­шей базовой модели, представленной на рис. 8.2, а, выражение кине­тической энергии (см. табл. 8.2) имеет вид

W = (m2/2)[(/i + /2 +2/]/2 cos<72)?i + 2{l2+ljl2cosq2^qjq2+l2q2^

Условие цикличности координаты q2 требует обращения в ноль коэффициентов при cos q2, т. е. либо = 0, либо 12 = 0. При /, = 0 вы­рождаются кинематическая модель системы (уменьшается размерность рабочей зоны) и ее динамическая модель (уменьшается порядок системы дифференциальных уравнений). Если трактовать 12 как расстояние от оси второго шарнира до центра тяжести второго звена, то условие /2 = 0 не приводит к вырождению кинематической модели, однако динамическая модель при этом условии опять-таки вырождается.

Это обстоятельство свидетельствует лишь об ограниченности простейших базовых моделей: слишком мало число точек размещения масс звена (неучтенным оказался факт существования момента инерции звена). Поэтому несколько изменим простейшую базовую модель, распределив массу второго звена по двум точкам так, чтобы удовлетворялись условия статического размещения масс: т2 + т" = т2, т212 + т%12’= т212 (рис. 8.11).

Очевидно, выражение для кинетической энергии этой модели примет

вид

W = 0,5 {[m’/j2 + (/’ )2 + m^(l2f + 2/, (т212 + щ® cos q2 +

+2[m^(/2)2 +m’2(l£)2 +lx(m’2l2 + m2l2)cosq2^qlq2 + (8.33)

+(тда2+тда%2}.

Как видно, здесь условие цикличности обобщенной координаты q2, а именно =0 не приводит к вырождению динамической мо­

дели системы. Физически оно соответствует условию статического уравно­вешивания масс второго звена относительно оси второго шарнира: /2 и 12

Рис. 8.11. Учет момента инерции второго звена простейшей базовой модели путем размещения его масс по двум точкам

должны иметь разные знаки (массы и т% должны располагаться с разных сторон от оси второго шарнира).

Реализация полученного условия за счет соответствующего распреде­ления масс звена при проектирова­нии трудностей не представляет. Необходимо только из всех возмож­ных вариантов выбрать тот, для которого центральный момент инер­ции второго звена

/2=<(/’)2+тпда2

минимален. От величины этого момента инерции существенно зависят моменты приводов, необходимые для обеспечения заданных ускорений по обобщенным координатам.

Реализовав найденное условие цикличности, вместо (8.33) можем записать

W = 0,5[(т2/2 + I2)qf + 2I2qxq2 + I2q22 (8.34)

Полученная квадратичная форма

W = 0,5qrn*q = 0,5XX^*

і=і *=і

является действительной, симметрической, положительно определенной, с постоянными коэффициентами. Известно [9, 20, 26], что линейная

подстановка q = Riji переводит каждую квадратичную форму в квадра­тичную форму от новых переменных j/

0,5qrIF<7 = 0,5£ £ = 0,5ф7ЇГ, ф,

і=1 к=

где

п* = 2 X K%rprhk (І, к = 12),

j= 1 Й=1

или в общем виде

П4′ = RrIFR. (8.35)

Для каждой данной действительной симметрической квадратичной фор­мы существует такое линейное преобразование q = Rt|i с действительными

коэффициентами rih после которого новая матрица П¥ в (8.35) будет диагональной. Причем, как канонический вид данной квадратичной формы, так и преобразование R, приводящее к этому виду, не определены од­нозначно. Возникает проблема выбора преобразования R.

Существующие методы приведения квадратичной формы к канони­ческому виду: метод Лагранжа, метод Якоби и метод ортогонального преобразования [26], не включают решение задачи целенаправленного преобразования с заданными свойствами. Мало того, из этих методов лишь метод ортогонального преобразования при условии, что используют только координатные системы с одним и тем же масштабом, приводит к единст­венному каноническому виду.

Ограничимся рассмотрением преобразований R, дающих одинаковый масштаб координат q и ф. Этому условию соответствует равенство

детерминантов I П4′ I и 1П91 квадратичных форм. Так как имеет место равенство

liri = |lF||R|2,

то детерминант рассматриваемых преобразований R должен быть равен единице.

Найдем канонический вид квадратичной формы (8.34) с помощью ортогонального преобразования. При ортогональном преобразовании Rr= R-1 и, следовательно, IIV = R-1IFR.

По матрице IF квадратичной формы (8.34) составим характе­ристическое уравнение

Я?;

*12 А.

и найдем его корни

X, = ll2 + щіх + — filf+mЩ / 2,

Х2 = (2/2 + щі2 — л/4/22+т22/14) / 2.

Для каждого корня Хь найдем собственные нормированные векторы г, ={ги, г21} и г2 ={г12,г22} такие, что г,2 + r22 = 1 и г12+г22=1. Координаты векторов г, и г2 задаются системами уравнений

К<-^Н+<2Г2,=0

пчпги + (nq22 — Х,)/-2,. =0, і = 1,2.

Определив отсюда компоненты г;ї (j = 1, 2), получим матрицу R

% fa} (d/^Jd2+i — i/Vd2+T

^21 ггг) + l dNd1 + 1 J’

где D = [mrf + A/4/2 + m22Z14) / 272.

Матрица R определяет систему передач между двигателями и звеньями механической руки. Так как мы условились (см. гл. 5) матрицу частных передаточных отношений кинематических передач руки обозначать через Ар, так что vj/ = Apq, то Ар в рассматриваемом случае должна быть

"р/Ур2+і i/Vd2+i ^ k-/-Jd2+ d/Vd2+і/

Реализация системы механических передач в соответствии с полученной матрицей частных передаточных отношений Ар обеспечит динамическую развязку системы в координатах |/. В этих координатах выражение кинети­ческой энергии примет вид

Vt = 0,5(1y2l+X2y22),

а матрица инерционных коэффициентов будет

Недостатком найденного решения является зависимость элементов матрицы частных передаточных отношений от инерционных параметров системы т2, /2, 11- Кроме того, техническая реализация передач в соот­ветствии с полученной матрицей Ар для модели, приведенной на рис. 8.2, а усложнена.

Эти обстоятельства побуждают искать матрицу R в классе матриц (теперь уже неортогональных) с элементами, независящими от параметров модели. Как отмечалось выше, регулярного метода целенаправленного определения такой матрицы нет. Приходится пользоваться методом проб и ошибок, "подключать" интуицию разработчика с учетом знания физических особенностей конкретных моделей. Так, для рассматриваемой модели, представленной на рис. 8.2, а найдено преобразование с матрицей

приводящее квадратичную форму (8.34) к каноническому виду

W = 0,5(/n2/2j/2 + /2j/2).

В справедливости приведенных выражений нетрудно убедиться подста­вив выражения обобщенных скоростей q, определяемых матрицей R, в (8.34). Заметим, что приведением квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа также можно доказать их справедливость.

Матрица Ар частных передаточных отношений синтезируемых передач привода в этом случае принимает вид

Согласно этой матрице (см. раздел 5.6) необходимо установить два двигателя на основании, связать один из них с первым звеном модели не­посредственно, а второй с помощью кинематической передачи с передаточ­ным отношением +1 (например, механизмом пантографа) связать со вторым звеном (см. рис. 5.1, б).

В соответствии с матрицей инерционных коэффициентов

в этом случае инерционная нагрузка по обобщенной координате у2 целиком

определяется моментом инерции второго звена /2.

Таким образом, приведенный пример не только подтвердил возмож­ность полной динамической развязки системы, но и выявил основные пути ее достижения и некоторые трудности на этом пути.

В заключение этого раздела отметим, что концепция динамической раз­вязки отнюдь не предполагает достижения полной динамической развязки движений по степеням подвижности во всех разрабатываемых робототехни­ческих системах. Она позволяет понять некоторые эффекты и наметить пути их полезного использования, а также определить тенденции развития и принципы построения робототехнических систем с теми или иными динами­ческими свойствами. Поэтому эта концепция имеет в первую очередь боль­шое методологическое значение. Вместе с тем при практической реализа­ции концепции динамической развязки появляются возможности повы­шения эффективности разрабатываемых промышленных роботов, а именно за счет:

1) уменьшения нагрузок в приводных элементах робота и снижения установленной мощности приводов робота при сохранении (или даже повышении) его быстродействия;

2) существенной экономии энергии (на порядок) и многократного по­вышения быстродействия при цикловом управлении за счет введения в систему рекуператоров механической энергии (динамическая развязка в этом случае обеспечивает одновременную работу приводов с рекупера­торами механической энергии) [18];

3) повышения точности и устойчивости многомерной системы автома­тического регулирования при сведении к минимуму эффектов динами­ческой связанности ее подсистем;

4) статического уравновешивания звеньев руки ПР и динамической раз­вязки движений по степеням подвижности робота (в этом случае можно ис­пользовать электропривод с малым передаточным отношением редуктора, а по некоторым степеням подвижности вообще отказаться от редуктора).

Такой подход способствует повышению надежности робототехнической системы в целом. Причем даже неполная динамическая развязка может привести к значительным выигрышам. Учитывая открываемые перспек­тивы, можно говорить об актуальности исследований по определению условий динамической развязки в различных кинематических структурах механических рук роботов, а также разработок конкретных механизмов частичного и полного устранения динамических взаимовлияний по степеням подвижности роботов.

The post КОНЦЕПЦИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ РАЗВЯЗКИ ДВИЖЕНИЙ ПО СТЕПЕНЯМ ПОДВИЖНОСТИ МЕХАНИЧЕСКОЙ РУКИ first appeared on 3Д БУМ.

Что касается третьей части — контуров обратных связей с устройствами съема и преобразования информации, — то вследствие высокого быстро­действия аналоговых преобразователей информации в упрощенных моделях, будем их описывать конечными алгебраическими соотношениями. Если в каналы обработки информации включены цифровые вычисли­тельные устройства, то в упрощенных моделях будем учитывать тактовый характер работы цифровой системы управления.

The post Упрощенные модели многомерной системы автоматического регулирования робота first appeared on 3Д БУМ.

Кинематические и жесткостные модели передач привода звеньев (см. гл. 5 и 6) для систем с двумя степенями подвижности вполне соответствуют принятому подходу. Динамические особенности робота определяются не только свойствами манипулятора, но и свойствами привода и систем регулирования, разнообразие которых очевидно. Поэтому представляется целесообразным подойти к их моделям и моделям усилительно-преобразо — вательных устройств также с позиций принятого подхода.

Начнем с рассмотрения электропривода в роботах, а именно с двигателя постоянного тока и его статической характеристики. Существуют две ярко выраженные альтернативные тенденции в построении и, соответственно, в применении двигателей постоянного тока — ориентация либо на малоинер­ционные и высокоскоростные двигатели, либо на высокомоментные и низкооборотные двигатели.

При использовании малоинерционных и высокоскоростных двигателей постоянного тока в робототехнических системах предполагается установка редукторов с большим передаточным отношением (ip = 100-200). Поэтому,

несмотря на малую собственную инерционность двигателей, приведенные к их валам инерционности звеньев механических рук и их изменения в функции конфигурации руки оказываются малыми (иногда ничтожно малыми) по сравнению с моментами инерции роторов. Действительно, уменьшение моментов инерции звеньев скелета руки в ip, т. е. в 10 000-

40 000 раз делает это утверждение несомненным.

Этот факт свидетельствует о стабилизации инерционных нагрузок, приведенных к валу двигателя, — основного типа нагрузок в быстроходных робототехнических системах. Кроме того, большое передаточное отношение позволяет уменьшить диапазон изменения приведенных к двигателю других видов нагрузки.

В случае противоположной тенденции — применения высокомоментного и низкооборотного двигателя — предполагается безредукторный привод и, как следствие, стабилизация не приведенных к валу двигателя нагрузок, а скоростей вращения вала двигателя в районе низких оборотов. При этом угловые скорости звеньев механической руки обычно в несколько раз (—10) меньше номинальных угловых скоростей даже низкооборотных двигателей постоянного тока.

Заметим, что оба типа двигателей имеют падающие линейные характе­ристики, однако в первых рабочий диапазон соответствует большим значением угловых скоростей содв, а во вторых — малым значениям содв

(соответственно прямые 1 и 2 на рис. 8.5).

Весьма чувствительной к изменению управляющего воздействия и, следовательно, переходу на другую линейную характеристику, па­раллельную первой, в малоинерционных двигателях оказывается скорость вращения двигателя (при постоянной нагрузке), а в высокомомент — ных (скорость меняется мало) — величина развиваемого двигателем мо­мента.

В теории машин и механизмов [1] большое методологическое значение имеют понятия силового и кинематического привода или возбуждения. При использовании малоинерционного высокоскоростного двигателя постоян­ного тока (рассмотренный выше пример) мы имеем привод, близкий по свойствам к кинематическому. Еще больше усиливают эффект кинемати­ческого возбуждения контуры обратных связей по скорости, охватывающие высокооборотные двигатели. Такие контуры способствуют ускорению переходных процессов при изменении статической характеристики. Приме­нение высокомоментного двигателя — ярко выраженный пример исполь­зования силового привода.

Рис. 8.5. Статические характеристики двигателя постоянного тока с незави­симым возбуждением

Рабочие диапазоны двигателя в зависи­мости от передаточного отношения і редук­тора в приводе одной степени подвижности робота: сон — среднее значение скоростей дви­гателя при больших значениях і; сор — среднее значение скоростей двигателя при малых значениях і

В соответствии с поставлен­ной нами задачей разработки уп­рощенных моделей усилительно­преобразовательных устройств

приводов роботов и результатами рассмотрения особенностей приводов с двигателями постоянного тока, представляется целесообразным обобщение понятий о силовом и кинематическом возбуждении на усилительно-преоб — разовательные устройства [2] и на случай использования систем с так называемым пассивным управлением [12], имеющих перспективы примене­ния в робототехнике.

Движение любой механической системы определяется действующей на нее эффективной силой (моментом)

/"эф = иоЯ

(тпр и q — соответственно приведенная масса и ускорение системы), равной разности действующих на систему активных и пассивных сил

Пф = ^акт — Т^пас-

Активные силы задаются источником мощности, пассивные определяются реакциями связей, в частности силами трения. В любой управляемой сис­теме присутствуют обе составляющие F3ф. В зависимости от того, какая из них используется для управления движением, т. е. регулируется усилительно­преобразовательным устройством, будем различать активное и пассивное управление.

Активное управление является традиционным, широко применяется и достаточно подробно исследовано [2]. Оно, как правило, предполагает регулирование энергии, поступающей на силовой двигатель, от которого к исполнительному звену ведут кинематические цепи. Пассивное управление производится непосредственно в механической цепи, а усилительно-преоб — разовательное устройство здесь является управляемым тормозом. Послед­нее обстоятельство определяет преимущества этого вида управления, которые связаны с тем, что управление реализуется непосредственно на исполнительном звене, что дает возможность исключить вредное влияние зазоров и упругостей ведущей к нему кинематической цепи.

Системы пассивного управления имеют то же функциональное назна­чение, что и система активного управления. Имея это в виду, легко обоб­щить существующую классификацию управления [2], включив в нее наряду с активными системами также и пассивные. Здесь мы ограничимся изло­
жением лишь элементов подобной классификации и несколькими прак­тическими примерами, иллюстрирующими ее основные принципы.

В основу классификации систем пассивного управления положено представление о трех типах усилительно-преобразовательных устройств: акселерационном, астатическом и позиционном.

Примеры двигательных систем с активным и пассивным управлением перемещениями приведены на рис. 8.6. Как видно, в обоих случаях могут быть использованы УПУ, действующие по одному принципу. Идеализируя характеристики УПУ, можно выделить три упомянутые типа, обеспечи­вающие на выходе соответственно силу, скорость и перемещение, завися­щие от заданного управляющего воздействия. При этом на входе всех схем, представленных на рис. 8.6, сигнал программы пропорционален требуемому перемещению.

Акселерационные усилительно-преобразовательные устройства для

отработки заданных перемещений должны быть охвачены контуром обратной связи по положению. В системе с электромашинным усилителем (ЭМУ) при активном управлении (см. рис. 8.6) сигнал обратной связи, пропорциональный рассогласованию фактического (х) и заданного (X) положения ротора силового двигателя, подается на обмотку ЭМУ. В резуль­тате пропорционально изменяется момент двигателя

FaKT = x(X-x). (8.25)

Система с ЭМУ при пассивном управлении (см. рис. 8.6, в) содержит, например, электромагнитный порошковый тормоз. Сила сопротивления линейно зависит от рассогласования

Fmaxll-(X-*)I при Х-х<(1-є)/А. Fmin при X-x>(l-t)/X,

где X — коэффициент усиления цепи обратной связи; e = Fmin/Fmax; Fmin и

Fmax — соответственно минимальный и максимальный момент порошковой муфты.

Второй пример акселерационного УПУ основан на использовании фрикционного механизма. При активном управлении (см. рис. 8.6, б) энер­гия источника мощности преобразуется в кинетическую энергию под­вижных кареток. Переменная сила FaKT создается при регулировании по программе силы нормального давления и удовлетворяет выражению (8.25). При пассивном управлении (см. рис. 8.6, г) по программе регулируется тормозной момент в соответствии с выражением (8.26).

Астатические усилительно-преобразовательные устройства при актив­ном управлении характеризуются кинематическим соотношением между скоростью х на выходе УПУ и управляющим перемещением д:вх на входе, т. е. x = fycBX, £ = const. Этому соотношению удовлетворяет, например, УПУ, представляющее собой гидроусилитель (см. рис. 8.6, д), у которого расход жидкости пропорционален открытию щели золотника, и лобовой вариатор (см. рис. 8.6, е). Обратная связь хвх = Х-х обеспечивает управление перемещением.

Пассивное управление перемещением

Рис. 8.6. Примеры моделей двигательных систем

ИМ — источник мощности; СД — силовой двигатель; УД — управляющий двигатель; тпр — приведенная масса; Пр — программа; Р — редуктор; у — упругость; 3 — зазор; Ур — устройство реверса момента силового двигателя; ЖД — жидкостной демпфер; ШСД — шаговый силовой двигатель; ШУД — шаговый управляющий двигатель

Гидроусилитель с обратной связью в системе пассивного управления (см. рис. 8.6, ж) создает сопротивление

^пас = X*2 /(X — *)2 ПРИ (X — *) > 0. (8-27)

где % — коэффициент, зависящий от свойств жидкости, конструкции золот­ника и параметров цепи обратной связи. При X — х = 0 гидроусилитель перекрывает щель золотника и запирает систему, т. е. х = 0.

При использовании вариатора в системе с пассивным управлением (см. рис. 8.6, з) Fnac зависит от вида сопротивления на валу лобового колеса. Если на валу установлен нерегулируемый жидкостный демпфер и отсутствует проскальзывание, то

^пас = А»,Г2х / ЦХ — х) при (X — X) > 0,

где h — коэффициент демпфирования, ів — передаточное отношение винтовой передачи, г — радиус ролика вариатора. При X — х = 0 также справедливо кинематическое соотношение і = 0. Таким образом, астати­ческое УПУ в системе с пассивным управлением представляет собой демп­фер с регулируемым коэффициентом демпфирования, кинематически запи­рающий систему при отработке заданного перемещения.

В позиционных усилительно-преобразовательных устройствах реали­зуется связь между перемещениями на входе и выходе: х = і„хт, где іп — передаточное отношение. Это обеспечивается не цепями обратной связи, а за счет специальных конструктивных мер. Так, в системе, приведенной на рис. 8.6, к, организованы полюсы и выполнена соответствующая схема их переключения, т. е. использован шаговый принцип реализации программы на основе применения шагового двигателя [10,15].

В позиционной системе с активным управлением и механическим усилителем мощности кабестанного типа [43] (см. рис. 8.6, и) вход и выход связаны лентами, обвивающими два барабана, приводимые от внешнего источника мощности и вращающиеся в противоположных направлениях. Управляющий двигатель затягивает ленту на одном из барабанов. Между лентой и барабаном возникает сила трения, передающаяся на выходное звено. Усилительные свойства этого УПУ оцениваются коэффициентом усиления мощности Кум, равным отношению мощности на выходе усилителя к мощности на входе. В рассматриваемой системе значение Кум достигает 40-50; оно определяется углом охвата барабанов лентами и их фрик­ционными свойствами.

Аналогичная система с пассивным управлением [8] (см. рис. 8.6, л) отличается тем, что барабаны фиксированы, а активная сила от нерегули­руемого источника воздействует непосредственно на выход УПУ. При этом лента натягивается активной силой, которая воспринимается одним из барабанов. Управляющий двигатель освобождает систему.

Эффективная система с пассивным управлением (см. рис. 8.6, м) полу­чена А. И. Корендясевым при использовании механического усилителя мощности с самотормозящейся передачей [16]. К валу червячного колеса приложен момент нерегулируемого силового двигателя, а с червяком, представляющим собой управляющее звено, соединен ротор регулируемого серводвигателя. При неподвижном серводвигателе вал колеса остается в покое независимо от величины FaKT. Если же ротор серводвигателя начи­нает вращаться, то червяк освобождает сцепленное с ним колесо, которое поворачивается под действием приложенного момента и перемещает исполнительное звено. В этом усилителе Кук зависит от стабильности фрикционных свойств материалов. В настоящее время удается получить Кум » 10.

Особенности систем пассивного управления видны при рассмотрении схем, представленных на рис. 8.6. Они заключаются в следующем.

1. Силовой двигатель имеет характеристику источника момента, т. е. развивает постоянный момент независимо от скорости вращения. Такая характеристика свойственна пневмодвигателю, однако, разработан и элект­ропривод, обладающий этим свойством [11].

2. В системе имеется специальный канал управления реверсом силового двигателя, например, от программного устройства.

3. Выходной вал усилительно-преобразовательного устройства кинема­тически жестко связан как с нагрузкой, так и с силовым двигателем.

4. Натяжение кинематической цепи от силового двигателя до УПУ осуществляется силой FaKT.

5. Реализуется закон управления, обратный по отношению к системам с активным управлением, т. е. с увеличением рассогласования сила Fnac уменьшается.

Точность воспроизведения программы при обоих способах управления зависит от вида используемого УПУ и свойств механической цепи от УПУ до исполнительного звена. В пределах принятых допущений для акселера­ционного УПУ при активном управлении свойственны ошибки трех видов — статическая, скоростная и динамическая, проявляющиеся соответственно в режиме удержания исполнительного звена, при движении с постоянной скоростью и при переходных процессах. Астатическим УПУ в системах активного управления свойственны только скоростная и динамическая ошибки, а в позиционных УПУ ошибки отсутствуют.

Механическая цепь от УПУ до исполнительного звена с присущими ей инерционностью, упругостью, трением и зазорами вносит в систему ошибки всех указанных выше видов. Обычно для их уменьшения всю механическую цепь и УПУ охватывают контуром обратной связи. Стрем­ление уменьшить эти ошибки и повысить быстродействие системы путем увеличения коэффициента усиления цепи обратной связи в активных сис­темах, как правило, приводит к возникновению автоколебаний и потере устойчивости.

Пассивное управление открывает другой путь повышения точности, связанный с возможностью установки УПУ в любом месте кинематической цепи от силового двигателя до исполнительного звена. Приближение УПУ к исполнительному звену позволяет повысить точность системы благодаря уменьшению числа элементов механической цепи, охваченных контуром обратной связи. Кроме того, в системах с пассивным управлением, в кото­рых УПУ при движении демпфирует систему, а в заданном положении ее запирает, повышение коэффициентов усиления цепи обратной связи не вызывает автоколебаний.

Пассивное управление для двигательных систем устройств робототех­ники использовано в конструкции робота, рассмотренной в публикации [37]. Акселерационное УПУ, выполненное в виде фрикционного тормоза, позво­лило перемещать захват в любую заданную программой точку рабочего пространства без использования механических упоров. Однако точность системы существенно снизилась, так как фрикционный тормоз не обеспе­чивает кинематического запирания исполнительного звена.

С этих позиций лучшим является астатическое УПУ на базе гидро­усилителя [17]. Такое УПУ обладает наибольшим значением К^, что приводит к существенному снижению габаритов и массы управляющего серводвигателя и позволяет устанавливать его на подвижных звеньях руки (рис. 8.7). При включении силового двигателя 1 кинематическая цепь 2 до исполнительного звена 3 натягивается. При подаче управляющих сигналов на серводвигатель 7 отрабатываются заданные перемещения. При этом золотник 5 открывает каналы перепуска жидкости между камерами 4 и 8 тормоза. Звено 3 освобождается, перемещается под действием момента двигателя 7 и с помощью винтовой пары возвращает золотник в исходное положение. При этом каналы перекрываются и тормоз запирает систему. Для обеспечения реверса служит устройство 6, изменяющее направление вращения двигателя 1. Реверс всегда осуществляется при кинематически запертой двигательной системе.

Золотниковое устройство и тормоз компактны и имеют высокую жесткость. Это обусловлено тем, что для работы тормоза не требуется насосной станции, а вся система выполняется герметичной с постоянным объемом рабочей жидкости. Кроме того, размеры и масса тормозного устройства значительно меньше, чем у традиционных гидроприводов, часто устанавливаемых в шарнирах роботов.

Рассмотрим динамическую модель, отвечающую устройству, приве­денному на рис. 8.7. Такая модель представлена на рис. 8.8.

Здесь массой тх моделируется исполнительное звено, упругостью с — упругость цепи от силового двигателя к исполнительному звену, массой т2 — инерционные свойства силового двигателя, усилие FaKT = Р — характеристика двигателя, имеющего свойства источника момента.

В качестве астатического УПУ принят гидротормоз, у которого расход жидкости пропорционален раскрытию щели золотника. Такой гидротормоз создает сопротивление

Fnac = %Xi /(X — дг, )2 при X — х, > О,

где % — коэффициент, зависящий от свойств жидкости, конструкции зо­лотника и параметров цепи обратной связи, X и д:, — соответственно про­граммное и фактическое перемещение исполнительного звена /и,. Програм­мное перемещение X(t) отрабатывается элементом бесконечной массы.

Движение модели описывается системой нелинейных дифференциаль­ных уравнений

щх, + х*,2 /(X — л:,)2 + с(дг, — х2) = 0,

т2х2 + hx2+c(x2 — xl)-P = Oi

где h — коэффициент вязкого сопротивления движению массы т2.

і * J I

(фк

Рис. 8.7. Схема пассивного астатического усилительно-преоб­разовательного устройства с гидротормозом

х2

mi •’V’W

ШІШ

Рис. 8.8. Динамическая модель пассивного астатического усилительно-преобразовательного устройства с гидротор­мозом

Для интегрирования этой системы уравнений использован метод прог­ноза и коррекции [23]. Отличие алгоритма интегрирования последних урав­нений заключается в том, что шаг интегрирования автоматически изме­няется в функции назначаемого числа итераций.

Многочисленные расчеты показали, что рассматриваемая система обла­дает хорошими динамическими свойствами. В ней отсутствуют автоколе­бания. Кинематическое замыкание обеспечивает плавный переход в задан­ную позицию. Зависимости, приведенные на рис. 8.9, дают представление о движении системы при определенных значениях параметров. Начальное состояние системы характеризовалось параметрами

X = 0,02 м; хх = х2 = 0; хх = х2 = 0.

Следует отметить, что при подходе к заданной позиции, когда разность Х-хх близка к нулю, существенно увеличивается время интегрирования на каждом шаге.

Предположение о погрешностях метода интегрирования заставляет предпринять аналитическое исследование системы. Рассмотрим ее при с = °°

и X = 0. Тогда система имеет массу тх + т2, на которую воздействует сила Р, и уравнение движения будет иметь вид

х + хх2 /(тх+т2)х2 — Р/(т1+т2) = 0. (8.28)

Это уравнение может быть преобразовано к системе двух уравнений пер­вого порядка

* = ;у

Рис. 8.9. Результаты расчета движений дина­мической модели пассивного астатического УПУ с гидротормозом

где к = %/(т, + /Иг); р = Р/(тх + т2).

Сделав подстановку и = У2, сведем полученную систему к линейному уравнению первого порядка

u’ + a(x)u = f(x), (8.29)

где

u’ = du/dx, а(х) = 2klx2, f(x) = 2p.

Общее решение уравнения (8.29) имеет вид

и = (1 / ц(х))[ J /(х)Ц.(х)<&] + G,

IXCW*’* = (8.30)

J /(x)|i(;t)*£t = J 2pe~2klxdx = Е{-2к/ x),

где E(-2k/x) — интегральная показательная функция.

После преобразований (8.30) получим уравнение интегральной кривой на фазовой плоскости

у2 = Е(-2х/к)е~2к1х.

При малых х, т. е. при х —» 0 получим

Wray2 ={р/к)х2.

дг—>0

Отсюда можно сделать вывод, что при малых х справедливо уравнение

х = ^{р/к)х,

решение которого

х = Се-‘^ЩТ‘.

Анализ этого уравнения показал, что скорость и ускорение системы также являются экспоненциальными функциями времени, т. е. подтверж­дается характер зависимостей, приведенных на рис. 8.9.

Снижение порядка дифференциального уравнения при малых рассогла­сованиях указывает на возникновение скользящего режима [5] и отражает близость системы к системам с кинематическим возбуждением. Заметим, что гидропривод с дросселированием на выходе относится к астатическим УПУ с пассивным управлением и описывается уравнениями вида (8.28) [21].

Идеализированные характеристики УПУ представляют собой их про­стейшие модели, которые мы будем использовать при анализе и синтезе многомерных систем регулирования роботов. Кроме того, выбор метода
планирования движений и способ отработки реакции на непредвиденное внешнее препятствие, воспринимаемое датчиком усилий, зависят от типа используемого УПУ. Вместе с тем, если в примерах рассматривается дви­гатель постоянного тока в устройствах, близких к акселерационным УПУ, мы будем применять более полную модель — статическую характеристику двигателя.

The post Упрощенные модели усилительно­преобразовательных устройств first appeared on 3Д БУМ.