Обеспечив цикличность некоторых обобщенных координат, можно не только перейти к определению аналогичных условий для всех и обоб­щенных координат руки робота [3, 18], но и указать циклические орто­гональные координаты, отвечающие целесообразному расположению дви­гателей и простым кинематическим цепям привода.

Рассмотрим две частные схемы исполнительных устройств с п степе­нями подвижности. Модель, приведенная по рис. 8.16, представляет собой плоскую л-звенную разомкнутую кинематическую цепь с вращательными парами пятого класса (m(,/0i — масса и центральный момент инерции і-го звена соответственно). Для этой модели представим кинетическую энергию в виде двух слагаемых: первое — сумма кинетической энергии центров масс

п

Wi=0,5]T т, У02, второе — сумма кинетических энергий, обусловленных вра-

/=1

" (‘ Y

щением звеньев вокруг центров масс W2=0,5^/0( . Второе сла-

;=i U=i j

гаемое не зависит от обобщенных координат, поэтому при выводе условий цикличности координат его можно из рассмотрения исключить.

Обозначим через линейную скорость і-го шарнира кинематической цепи (V, s 0). Тогда выражение для квадрата линейной скорости центра масс і-го звена цепи можно записать в виде

Y

■ л [ь, 0=!

л Ґ — V:v Sill

ъ, W=‘ .

V£ = V?+2P,.

Viy cos

+p;

Рис. 8.16. Модель исполнительного устройства робота с п вращательными кинематическими парами — случай параллельности осей кинематических пар

где

	Г/-і ^		Л-i ^		(і-1 >			Л-l
v;2 = ^1+2/,._1	24,	cos	Ы	V(i-l)x S^n			+£l	2^
	0=1 У		W=1 J		W=1 J			u-і ;

У1у, Уы — проекции линейной скорости /-го шарнира на оси Y, X соот­ветственно.

Отсюда следует, что обобщенная координата qn входит только в по­следнее слагаемое суммы W] кинетических энергий центров масс, коор­дината — в два последних слагаемых этой суммы, qn_2 — в три, и т. д. С учетом сказанного выражение для W] можно записать так

W,=0,5 £m,. 1 = 1

Pt

j=i ) J=1 v*=1

^ cosl Y^qk — Vfr sin ^qk

4*=1

.*=і

in Ґ n +2 щрi+h 2 mi 12^* 1=1 V j=i+1 Jk=1 J

Условия цикличности і-й обобщенной координаты (2 < і < п — 1) рас­сматриваемой модели получим, приравняв нулю коэффициенты при

, j = i, І +

Vjy cos( 2 <7* I ~ ^ sin ^qk

k=1 ,

т. е.

п

(8.40)

рj=l, ]Г mk/mj.

*=;+i

Координата ql — циклическая при любых соотношениях параметров модели, а рп = 0 — условие цикличности координаты q„. При выполнении последнего условия и (п — 2) условий (8.40) все координаты модели циклические, а

координаты |г. = (см. гл. 5) кроме того и ортогональные j=і

Условия (8.40) означают уравновешенность і-го звена с присоединенными к нему в (і + 1)-м шарнире последующих масс звеньев относительно і-го шар­нира и аналогичную уравновешенность всех последующих звеньев.

Относительно звеньев модели, представленной на рис. 8.17, будем пред­полагать, что для звеньев, связанных с предыдущим звеном вращательной кинематической парой пятого класса, динамическое размещение масс можно произвести в плоскости, перпендикулярной оси пары. Геометрия масс звеньев предполагается таковой, что в плоскости точек размещения масс существует ось симметрии (на рис. 8.17 ось Xh і = 1, 2,…, л). Будем оце­нивать инерционные свойства звеньев массой т„ моментом инерции /0, и осевыми моментами Іхі и Іуі относительно центральных осей звеньев в плоскости размещения масс.

Рассмотрим сначала случай п = 2 (рис. 8.18) — тороидальный маятник. Второе звено этой модели совершает пространственное движение, которое можно рассматривать как сумму поступательного движения с центром масс звена и вращения вокруг центра масс. Согласно принятым моделям звеньев (X; и Z, — главные центральные оси инерции звеньев) тензор инерции і-го звена в точке, совпадающей с его центром масс, будет

hi 0 0

I, = 0 Іуі 0 , І2І = /0,- = Іхі + Іуі,

.0 о І2І_

а составляющая кинетической энергии, обусловленная вращением и вы­раженная через квазискорости (0и, се>2(- и <% — проекции вектора вращения со звена на оси системы координат, связанной со звеном, имеет вид

W* = 0,5[/Х1.С02 + /я.<. + (Ixi + /,,,) ©з,].

Зная зависимость квазискоростей <ю1(, ©г,- и сйз, от углов Эйлера [у], [й] и [ф] (углы прецессии, нутации и чистого вращения соответственно) и их про­изводных по времени [22], с учетом следующего соответствия между углами Эйлера и принятыми обобщенными координатами модели (см. рис. 8.18):

[у] = 4і> [Ф] = я/2 = const, [ф] = q2,

Рис. 8.17. Модель исполнительного устройства робота с п вращательными кинематическими парами — случай ортогональности от первой кинематической пары осям остальных кинема­тических пар, параллельных друг другу

получим выражение кинетической энергии в принятых обобщенных коор­динатах в виде

W = 0,5{(m, pf +/01)<?і2 +щ[рІЯІ +(h+p2 cos ЯіїІЇ] +

+ Uxl sin Ч2 1у2 СО® Чі ] Я А)2*?2 } •

Отсюда следует, что условия цикличности и одновременно ортогональ­ности обобщенных координат и q2 модели принимают вид р2 = 0 и Jх2 = Jy2- При моделировании геометрии масс звеньев замещающими точ­ками в рассматриваемом случае условия цикличности обобщенных коор­динат соответствуют совпадению центра масс замещающих точек второго звена с осью кинематической пары и равенству центральных осевых момен­тов инерции масс точек в плоскости их размещения

2тл2=Хтл2-

м м

Нами подтвержден полученный ранее (см. раздел 8.5.1) результат. Проведенное рассмотрение позво­ляет более просто получить условия цикличности всех обобщенных коорди­нат модели исполнительного устройства с п степенями подвижности, пред­ставленной на рис. 8.17. Здесь ось первой кинематической пары перпен­дикулярна осям остальных кинематических пар, параллельных друг другу. При фиксации первой кинематической пары получим плоскую (п — 1 Язвен­ную разомкнутую цепь. Представим кинетическую энергию рассматриваемой модели в виде суммы W = f>a, a=l где W! — энергия первого звена W, = 0,5(/Я1р1 +/oi)?l > W2 — энергия вращения звеньев вокруг центров масс в плоскости (л — 1> звенной цепи „ (і л2 W2=0,5£/0l. ІЯ ;=2 0=2 „ W3 — энергия вращения звеньев вокруг центров масс, обусловленная пово­ротом плоскости (п — 1)-звенной цепи Г і Л і м

Рис. 8.18. Модель исполнительного устройства робота — тороидальный маятник При выполнении условий цикличности координат выражение кинетической энергии преобразуется к виду W = 0,5 (wi[P2 + /01 + щ/2 + 0,5/о2) ql + + 0, 5/q2<?2 •

W3 = 0,5^X

1=2

	(- Ї	2	( * Л	2 ~	/ п
р?	IV
	и-2 )	j=2	U=2 )		i=2

W4 — энергия смещения центров масс звеньев в плоскости (п — 1)-звенной цепи

W4=0,55>,

1=2

	( і	"
X	£ч к	V^cos
	к=2 )

2^ r^iSin £?* U=2 J U=2 у

Ъ, U“2 J

5л W=2 )

+ Iyi COS2

j=i+1

Viz, Vu — проекции скорости центра масс і-го звена на оси Z и X, соответст­венно; W5 — энергия смещения центров масс звеньев перпендикулярно плоскости (п — 1)-звенной цепи

Сделаем подстановку

-а

		і /	‘ j }
/[ + p. COS	2л	+ 2/у COS	х^*
.	II К>	j=2	а=2 J

W5 = 0,5412£w.

1=2

1+1

(8.41)

j=2

Слагаемое W5, после раскрытия скобок перепишем в виде W5 = 0,5^2 mj У=i+l

1=2

n-1

+2m„p„

V 1=2 n-2 /=2

л-1		n	>
V„+2/,X	miP/ +	i, X	cos|/,. +
i=2		y=/+l	/
m;P; + h ]	£ mk	cos|/y.
V *=	—J+1 J

cos2 v,.+mnp2cos2 |/„ +

;=i+i

Приравняв нулю коэффициенты при sin i|<) и cos i|<) в выражениях W4 и W5 (после подстановки (8.41)), с учетом того, что координата qt (і > 2) входит слагаемым не только в |/м, но и в |/) при n>j> і, получим первую группу необходимых условий ЦИКЛИЧНОСТИ координаты <7,

Р„=0>

Как видно, эти же условия являются необходимыми условиями цикличности обобщенных координат qj (j > і).

Сложив W3 и W5 и приравняв нулю коэффициенты при cos2|/j и sin2|/„ с

(8.43)

учетом выполнения условий (8.42) напишем вторую группу необходимых условий цикличности координаты д.

Ixj = Iyj = myp2 +lj X mk, j = n -1, n — 2,…, і +1, і.

k=j+1

Выполнение условий (8.42) и (8.43) обеспечивает цикличность всех координат qj и одновременно цикличность и ортогональность координат

В этом случае координата не только циклическая, но и орто­гональная по отношению к координатам В соответствии с полу­ченными условиями (8.42), (8.43) необходимо, во-первых, i-e звено (і Ф 1) и все последующие звенья уравновесить относительно присоединяющих шар­ниров с учетом присоединенных масс последующих звеньев и, во-вторых, обеспечить равенство друг другу центральных осевых моментов і-го звена (іФ 1) и всех последующих звеньев в плоскости размещения масс также с учетом присоединяемых масс последующих звеньев.

При выполнении найденных условий цикличности обобщенных коор­динат существенно упрощается задача стабилизации значения потен­циальной функции манипулятора, обусловленной гравитацией. В зависи­мости от расположения оси первой кинематической пары в гравитационном поле дополнительное уравновешивающее устройство может либо вообще не понадобиться, либо понадобится всего одно пружинно-уравнове — шивающее устройство для уравновешивания первого звена модели с учетом присоединенных к нему масс остальных звеньев.

Как следует из (8.42) и (8.43), с увеличением числа степеней подвиж­ности манипулятора обеспечение условий цикличности всех обобщенных координат приводит к быстрому росту масс звеньев и практически может быть достигнуто не всегда. Многое зависит от конкретных задач. Можно, например, пренебрегая инерционностью наиболее удаленных от основания звеньев, ограничиться уравновешиванием и динамической развязкой движе­ний наиболее инерционных звеньев, расположенных ближе к основанию. При этом желательно в качестве уравновешивающих масс использовать массы приводных двигателей, а требование соответствия их установки нор­мальным циклическим координатам обеспечивать специальными механи­ческими передачами.