Пусть последнее звено модели представляет собой жесткий стержень — ползун, имеющий ось симметрии, с массой т„ (рис. 8.14). Как и в преды­дущем случае, введем три системы координат: неподвижную, связанную с основанием; подвижную 0XYZ, связанную с предпоследним звеном так, что ось Z направлена вдоль оси последней (поступательной) кинематической пары; а также подвижную 0nXnYnZn, связанную с последним звеном. Начало 0„ системы координат совместим с центром масс, ось Z„ направим вдоль оси ползуна, а оси Х„ и Y„ направим вдоль главных осей инерции тела. В общем случае обобщенная координата q„ связана с расстоянием р между началами

Рис. 8.14. Назначение систем координат, в ко­торых рассматривается движение последнего звена модели руки с л-й поступательной кине­матической парой

подвижных систем координат 0 и 0„ соотношением р = q„ — у, где у = const.

В выражении кинетической энер­гии вида (8.36) в этом случае лишь пер­вое слагаемое зависит от q„. Скорость центра масс л-го звена в неподвижной системе координат определена линей­ной скоростью V0 центра подвижной системы координат 0XYZ, угловой

скоростью £1 предпоследнего звена, радиусом-вектором р и его произ­водной

Vn=V0 + qn + ftxp.

Используя проекции векторов V0 и С1 на оси системы координат 0XYZ, а именно

V0=iv,+jvy+kvx, Л = + j£2y + k£2z

и условие р = k(qn — у), получим после подстановки и преобразований вы­ражение для квадрата абсолютной скорости центра масс последнего звена

V2 = V02 + р2(п2х + tfy) + q2„ +2p(Vxny — vpx) + 2vzq„.

Выполнение условий £2, = 0 и С1У = 0, обеспечивающих независимость вы­ражения для V2 от обобщенной координаты qn, аддитивно входящей в вы­ражение р, приводит к частным случаям, когда механизм без последнего

звена является плоским, причем плоскость движения его звеньев перпен­дикулярна оси Z. Такое "структурное" обеспечение цикличности последней координаты охватывает небольшое число возможных схем. Очевидно, что для всех остальных схем никакое уравновешивание с помощью жестко соединенных со звеном масс не приведет к желаемому результату.

Вместе с тем может оказаться целесообразным создание уравновеши­вающего механизма, движение которого связано с изменением q„ и обеспе­чивающего условие р = const. Такое уравновешивание легко осуществить с помощью одной массы. Однако в этом случае моменты инерции 1т и 1У„ становятся переменными и равны 1т = / = mnq2n + Ml} или 1т = 1уп = 2mnql

при М = т„, т. е. второе слагаемое в выражении для W„ становится зави­симым от q„. Поэтому уравновешивающий механизм должен обеспечивать не ТОЛЬКО условие р = const, НО И выполнение условий Im = const, 1у„ = const.

Совместно выполнить эти условия с помощью лишь одной уравно­вешивающей массы нельзя. Очевидно, что какой бы уравновешивающий механизм не был создан, он сможет обеспечить условия Ixn = const, 1уп = const на некотором ограниченном интервале | qn < qnmax.

В противном случае, при неограниченном увеличении qn будет неогра­ниченно возрастать момент инерции Таким образом, добиться

цикличности последней обобщенной координаты, как следует из выраже­ния для V2, можно, если предложить механизм, который перемещает уравновешивающие массы в зависимости от изменения q„ так, чтобы общий центр масс звена и механизма не менял своего положения относительно звена, а главные моменты инерции системы, состоящей из последнего звена и уравновешивающего механизма, оставались постоянными.

Пусть, например, механизм уравновешивания содержит две одинаковые уравновешивающие массы Мх = М2 = М. Тогда легко написать зависимости координат Z] 2 уравновешивающих масс в функции координаты qn. Дейст­вительно, с учетом первого и второго условий можем записать

mnqn + Mzx + Mz2 = О

I + mnq2 + Mz2 + Mz = const = Id,

где к — постоянное число, / — главный центральный момент инерции по­следнего звена относительно оси Х„.

Решая эти уравнения совместно, получим

42 = [-mnqn±421M{k-)-2mnMql-miq2n )/2М.

Видно, что значение константы к ограничено снизу и определено мак­симальной координатой <7„тах* Вместе с тем, как следует из выражения, отражающего второе условие, для уменьшения момента инерции звена с уравновешивающим механизмом желательно выбирать величину к мини­мально возможной, т. е.

* = *min =[(2Mnnq2nmax +тп24„2тах)/2/м] + 1.

В этом случае

zu = Яп ±л/(т« +2Мт„)(<7п2тах -<?„) j/2M

и максимальный ход масс М согласован с максимальным смещением тп.

Пример построения такого механизма для модели с тремя степенями подвижности представлен на рис. 8.15. Здесь используются синусные меха­низмы для привода двух уравновешивающих кольцевых масс М, = М2 = т2, выполненных в виде ползунов, установленных с возможностью перемеще­ния вдоль оси Z. При этом движение от последнего звена модели передается через кривошип 1 жестко связанным с ним кривошипам 2 и 3 привода урав­новешивающих масс. Произведя замену переменной qn = I cos Т| СП — угол поворота кривошипа 1,1- его длина), а также выбрав длины кривошипов

Рис. 8.15. Схема механизма динамического уравновешивания звена руки, присоединяе­мого поступательной кинематической парой

l{ = l2 = I и фазу кривошипов 2 и 3 относительно кривошипа 1, равную 120°, получим законы движения уравновешивающих масс

Zj = /cos(T) + 120°), z2 = /cos(r|-120o).

Очевидно, что в этом случае центр трех масс Мх, Мг и тп не будет

смещаться вдоль осей X, Y, Z, а момент инерции системы относительно любой оси, перпендикулярной оси Z, будет постоянным. Таким образом, условия цикличности последней обобщенной координаты выполнены.