Пусть последнее звено модели представляет собой твердое тело, одна из главных центральных осей инерции которого параллельна оси враща­тельной пары. Это имеет место, если тело имеет плоскость симметрии, перпендикулярную оси вращения, что часто наблюдается на практике. Для удобства вывода условий цикличности последней обобщенной координаты введем в рассмотрение следующие системы координат (рис. 8.12):

а) неподвижная система координат QqXqY^Zq, связанная с основанием;

б) подвижная система координат 0XYZ, связанная с предпоследним зве­ном л-звенной модели, ось Z которой совпадает с осью л-й кинематической пары;

в) подвижная система координат 0„X„Y„Z„, связанная с последним п-м звеном модели так, что ее начало совпадает с центром масс л-го звена, а оси координат совпадают с главными осями инерции звена. При этом, по предположению, ось Z„ параллельна оси последней кинематической пары.

Начало координат системы ОXYZ выбираем на оси Z так, чтобы вектор р, соединяющий точки 0 и 0„, был перпендикулярен осям Z и Z„. При таком

назначении систем координат, связанных с предпоследним и последним звеньями, угол ф между осью X и вектором р представляет собой сумму обобщенной координаты q„ и некоторой константы и, определяемой выбо­ром начала отсчета обобщенной координаты qn

Ф = Яя+ъ

Выражение кинетической энергии последнего звена имеет вид

W„ = 0,5mnV^2 + 0,5/qQ2, (8.36)

где т„ — масса л-го звена; V„ — модуль вектора скорости центра масс л-го звена в системе OqXqYqZq-, О, — модуль

вектора угловой скорости Л л-го звена в системе OqXqYqZq-, /п — центральный

момент инерции л-го звена относитель­но оси, параллельной вектору угловой скорости Л л-го звена. Далее,

V„ = V0 + ftxp,

где V0 — вектор скорости центра 0 сис­темы 0XYZ в системе OqXqYqZo.

Рис. 8.12. Назначение систем координат, в кото­рых рассматривается движение последнего зве­на модели руки с п-й вращательной кинемати­ческой парой

Векторы, входящие в правую часть последнего равенства, в проекциях на оси системы ОXYZ имеют вид

%=iVx+]Vy + kVt,

St — iSlx + jdy + kSlz,

p = p(j СОвф + j вІПф)

и следовательно, можно записать

V„ = і (Vx — І2гр sin (p) + j (Vy + І2гр cos ф) + k (V2 + £2хр sin ф — cos ф)

и далее

0,5 ту} = 0,5mn [v02 + p2£22 + p2(tix віпф — совф)2 +

(8.37)

+2p(-VxSlz sin ф + VyQ. z cos ф + sin ф — cos ф)].

Второе слагаемое в выражении (8.36) кинетической энергии в проек­циях на оси координат 0nXnYnZn можно записать так

0,5/nQ2 = 0,5(7^ + + 1гпП2т),

где 7да,7уп,7гп — главные центральные моменты инерции последнего звена.

Выразим проекции SI на оси системы 0nXnYnZn через введенные ранее проекции, QZ вектора на оси 0XYZ, используя матрицу поворота при

переходе от системы 0XYZ к системе 0nXnYnZn,

совф віпф 0 — віпф совф 0 .

0 0 1.

Получим

П = і£2Л + jQy + kQz = in (Qx cos ф + sin ф) + jn (-Q, sin ф + £2y cos ф) + knQz,

следовательно,

0,57n£22 = 0,5[7OT(Q;t совф + йу віпф)2 + /^(Q, віпф-Ц совф)2 + 7zn£22]. (8.38)

Как видно, в выражении W„ слагаемые (8.37) и (8.38) зависят от ф, а зна­чит и от q„. Чтобы слагаемое (8.37) не зависело от qn при |р| >0, кинемати­ческая схема должна обеспечивать одновременное выполнение следующих условий:

ах = 0, пу = 0, Vx =0, Vy = 0. (8.39)

Выполнение первых двух условий достигается в случае параллельности осей всех вращательных пар. Выполнение двух последних условий дости­гается в том случае, если за исключением последней, все кинематические

354

пары в модели поступательные, а их оси параллельны оси последней вра­щательной пары. Чтобы слагаемое (8.38) в выражении W„ не зависело от q„, достаточно выполнения двух первых равенств из (8.39). Выбор структур невелик.

Таким образом, в общем случае для обеспечения цикличности послед­ней обобщенной координаты требуется параметрическое решение — урав­новешивание последнего звена. Чтобы определить, каким должно быть уравновешивание, обратимся опять к выражениям (8.37) и (8.38).

Для того, чтобы (8.37) стало независимым от q„, достаточно выполнить условие | р | = 0, т. е. уравновесить звено так, чтобы центр масс звена нахо­дился на оси вращения последней кинематической пары. Чтобы (8.38) было независимым от q„, достаточно при уравновешивании выполнить условие 1хп = / . Если оси всех вращательных пар параллельны, то условие 1хп = 1уп

можно не выполнять.

Окончательно, если в произвольной схеме с последней вращательной парой распределение масс в последнем звене удовлетворяет условиям р = 0, один из главных центральных моментов инерции 12п совпадает с осью последней вращательной пары, а 1хп = /, то последняя обобщенная коор­дината — циклическая.

Рассмотрим два примера возможного уравновешивания последнего зве­на, приводящего к тому, что последняя обобщенная координата становится циклической.

Сначала проанализируем схему манипулятора, представляющего собой тройной плоский маятник, состоящий из невесомых жестких звеньев и сосредоточенных масс (рис. 8.13, а). Пусть последним звеном будет жесткий невесомый стержень с сосредоточенной массой /и3 на конце. Такая схема имеет две нециклические координаты q2viq3. Обобщенная координата <?! во всех рассматриваемых моделях циклическая. В этом проявляется один из законов сохранения — закон сохранения количества движения или момента количества движения. Так как оси всех вращательных пар параллельны, то достаточно уравновесить последнее звено так, чтобы вы­полнялось условие р = 0. Такое уравновешивание можно произвести с по­мощью одной уравновешивающей массы М3, жестко соединенной со звеном с помощью жесткого стержня длиной 1^, как показано на рис. 8.13, а пунктиром. Соотношение между массами тъ, М3 и длинами /3, L3 должно удовлетворять условию тъ1ъ = М 3L$. В такой системе две обобщенные координаты qx ts. q-i будут циклическими, т. е. мы добились поставленной цели.

Во втором примере (рис. 8.13, б) также две обобщенные координаты q2 и <7з нециклические. Модель отличается от рассмотренной выше тем, что оси первой и остальных вращательных пар не параллельны, точнее перпен­дикулярны.

Чтобы координата стала циклической, необходимо уравновесить последнее звено, при этом должны выполняться условия р = 0 и 1хп = 1уп. Очевидно, что совместного выполнения этих условий нельзя добиться с помощью лишь одной уравновешивающей массы, необходимы как минимум

Рис. 8.13. Примеры динамического уравновешивания последнего звена моделей с тремя степенями подвижности с вращательными кинематическими парами а — плоская динамическая модель "тройной маятник", б — пространственная модель структуры 1-2

две уравновешивающие массы. Пример уравновешивания звена двумя рав­ными массами М3, показан на рис. 8.13, б, причем точечная масса звена и уравновешивающие массы лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения последней кинематической пары. Для определения длины L3 (расстояние от оси шарнира до уравновешивающей массы) и угла ■& соста­вим в соответствии с приведенными условиями систему уравнений

2M3I3 cos’d = /П3/3,

2 Мгі sin2 Ф = + 2 Мгі cos2 Ф.

Если каждая уравновешивающая масса равна массе звена (Af3 = т3), то решение этой системы будет L3 = /3, Ф = 60°.

Таким образом, получены условия, при выполнении которых последняя обобщенная координата, соответствующая вращательной паре пятого клас­са, становится циклической.