Одна из характерных особенностей динамики исполнительных меха­низмов роботов — эффект динамического взаимовлияния движений по степеням подвижности. Эффекты динамического взаимовлияния движений проявляются уже в системах с двумя степенями свободы. Анализ кинемати­ческих структур скелета рук известных промышленных роботов позволяет выделить девять различных частот применяемых разомкнутых кинемати­ческих структур с двумя степенями свободы, различающихся видом и распо­ложением двух кинематических пар пятого класса с взаимно перпендику­лярными или параллельными осями. Эти кинематические структуры пред­ставлены в табл. 8.1, где В — вращательная, а П — поступательная кинемати­ческая пара. При этом за ось поступательной кинематической пары принята линия перемещения центра тяжести звена, присоединяемого этой парой.

Простейшей "базовой" моделью исполнительного механизма робота будем считать систему, представляющую собой одну из структур, приве­денных в табл. 8.1, и содержащую в составе второго звена сосредоточенную массу т, моделирующую инерционные свойства звеньев руки робота. Некоторые из них приведены на рис. 8.2. Динамическое взаимовлияние движений по обобщенным координатам, в качестве которых приняты отно­сительные положения последовательно сочлененных основания и жестких (невесомых) звеньев, находит отражение в выражениях для функций Лагранжа моделей в виде членов, содержащих произведения обобщенных скоростей, коэффициентов при обобщенных скоростях и свободного члена, зависящих от обобщенных координат.

Для простейших моделей, представленных на рис. 8.2, г, д, функции Лагранжа содержат лишь квадраты обобщенных скоростей, а коэффи­циенты при них — суть константы. Это свидетельствует о том, что данные системы ортогональные и динамически развязаны. Несмотря на "вырож­денный" характер таких моделей, в некоторых случаях именно с их по­мощью достигается наглядность постановок и выявляются особенности задач динамики, оптимизационных задач, способов их решения и интер­претация получаемых результатов.

Из очевидных свойств простейших "базовых" моделей отметим следую­щие: для моделей, представленных на рис. 8.2, а-г, в отсутствие потен­циальных сил и трения траектории собственных движений массы т, т. е. движений при заданных начальных скоростях и тождественно равной нулю вектор-функции управляющих воздействий, суть прямые на плоскости; для модели, представленной на рис. 8.2, д, — винтовая линия на цилиндре, а для моделей на рис. 8.2, е и ж — геодезические линии на торе и на сфере соот­ветственно. Прямые собственных траекторий моделей, приведенных на

Таблица 8.1 Классификация кинематических структур моделей с двумя степенями подвижности

рис. 8.2, а, в, имеют изломы на границах зоны обслуживания, что соответст­вует ударам массы т об ограничитель. В реальных робототехнических системах такого рода удары смягчены инерционностью всех подвижных звеньев системы.

Следующий по сложности класс моделей исполнительных механизмов роботов — упрощенные модели. Каждое подвижное звено этих моделей содержит одну или несколько сосредоточенных масс, характеризующих учитываемые инерционные параметры звеньев. В наиболее простых из них каждое подвижное звено характеризуется одной сосредоточенной массой.

Рис. 8.2. Простейшие динамические базовые модели исполнительных механизмов роботов а — двойной маятник; б — полярная система; в — эллиптический маятник; г — координатный стол; д — винтовая система; е — тороидальный маятник; ж — сферический маятник

Такие упрощенные динамические модели исполнительных механизмов роботов-манипуляторов с двумя степенями подвижности, соответствующие наиболее применяемым в робототехнике базовым моделям (см. рис. 8.2, а — в, ё), представлены на рис. 8.3.

Чтобы получить выражения для коэффициентов дифференциальных уравнений динамики упрощенных моделей в явном виде, не обязательно пользоваться полным матричным описанием кинематических структур мо­делей ввиду сложности и значительного объема выкладок. Введем следую­щие обозначения параметров рассматриваемых упрощенных моделей.

Модель на рис. 8.3, а — двойной плоский маятник, у которого /|, 12- длины звеньев; тх, т2 — точечные массы, сосредоточенные соответственно на концах жестких стержней; q,q2- обобщенные координаты.

Модель на рис. 8.3, б — полярная система, у которой тх — масса стержня, сосредоточенная на расстоянии 1Х от точки 0 крепления его к основанию, т2 — точечная масса звена, перемещающегося вдоль стержня. В качестве обобщенных координат выбраны: qx — угол поворота стержня и q2- расстояние от точки 0 до точечной массы т2.

Модель на рис. 8.3, в — эллиптический маятник с двумя сосредо­точенными массами тх и т2. Обобщенными координатами являются: д, — поступательное перемещение массы тх относительно основания, q2 — угол поворота второго звена относительно оси поступательной кинематической пары, 12 — длина второго звена.

Наконец, модель на рис. 8.3, г — тороидальный маятник с взаимнопер­пендикулярными осями шарниров. Здесь /ь 12- длины звеньев; т,, т2- сосредоточенные массы. Обобщенные координаты qx и q2 — углы поворота первого звена относительно основания и второго звена относительно первого соответственно.

Предположив стационарность потенциальной функции, обеспечивае­мую обычно аддитивными составляющими в управляющих воздействиях, либо наличием пружинных уравновешивающих устройств (см. гл. 6), получим функцию Лагранжа для каждой модели, равную кинетической энергии W, в виде квадратичной формы обобщенных скоростей qxviq2:

W = 0,5(K114,2 +2nl2qxq2 + K22q). (8.21)

Выражения для инерционных коэффициентов щ моделей представлены в табл. 8.2. Приравняв т2= т и т х = 0, получим коэффициенты я,, для

соответствующих "базовых" моделей.

Как видно, для всех моделей, представленных на рис. 8.3, а, а следо­вательно, и для моделей на рис. 8.2, a-в, е, обобщенная координата qx циклическая. Поэтому в свободном (собственном) движении (W = const = к) обобщенный импульс по первой координате в процессе движения не меняется

Pi = aw / dqx = я, xqx + К l2q2 = const. (8.22)

Физическое проявление этого условия для моделей, приведенных на рис. 8.2, при условии идеальности кинематических пар описано выше. Для моделей, представленных на рис. 8.3, а, б, г, при тех же условиях этот

Рис. 8.3. Упрощенные двухмассовые модели исполнительных механиз­мов роботов а — двойной маятник; б — полярная система; в — эллиптический маятник; г — тороидальный маятник

Таблица 8.2 Выражения для инерционных коэффициентов упрощенных моделей Модель *11 nl2 *22 Двойной плоский маятник Полярная система Эллиптический маятник Тороидальный маятник mxlx + m2 (1 + /2 + 2/|/2 cos q2) т^2 +т2<?2 ту + т2 mill +m2(/i +/2cos<?2)2 m2(/2 +/i/2cos<?2) 0 -m2/2sin<?2 0 m2/2 m2 w2/2 m2/2

импульс — суть кинетический момент относительно оси подвеса, а для модели, представленной на рис. 8.3, в, — проекция количества движения на ось поступательной кинематической пары.

Обратим внимание также на следующую особенность: структура выра­жений для инерционных коэффициентов и даже вид зависимостей этих

выражений от обобщенных координат не изменяются при переходе от упрощенной модели к соответствующей простейшей базовой, корректи­руются лишь константы. Можно предположить, что при переходе от более подробных моделей к упрощенным эта особенность сохранится. Проверим высказанное предположение на более сложном примере, рассмотрев парал­лельно задачу приведения масс исполнительного механизма робота к сосре­доточенным массам его упрощенной модели.

Пусть звенья исполнительного механизма робота представляют собой твердые недеформируемые тела. Для описания динамики такого механизма необходимо знать геометрию масс каждого звена, т. е. положение центра масс, главных осей и главные моменты инерции.

Воспользовавшись методом замещающих точек [1], можно моделиро­вать каждое звено совокупностью точечных масс, не изменяющих относи­тельного положения. Полученная система замещающих точек эквивалентна звену, если выполнены следующие условия:

1) сумма масс в замещающих точках равна массе звена;

2) центр масс замещающих точек совпадает с центром масс звена;

3) сумма моментов инерции замещающих точек относительно любой оси равна моменту инерции звена относительно той же оси.

Если звену поставить в соответствие декартову систему координат, поместив ее начало в центр масс и направив оси вдоль главных осей инерции, то перечисленные условия можно записать в виде

к

1) Хт,. = М;

1 = 1

2) =0, YJmiyi= 0, =0;

1 = 1

к

к

к

36) ^mixiyi= 0, ХтЛ2/=0, Хт-2Л = 0’

1 = 1

где к — число замещающих точек. Условие 36 (центробежные моменты инерции относительно каждой пары координатных осей равны нулю) означает совпадение осей координат с главными осями инерции.

Рассмотрим отличия в выражениях инерционных коэффициентов для системы, в которой звенья представляют собой твердые тела, и ее упро­щенной модели, в которой звенья представляют невесомые стержни с со­средоточенными массами на концах. В качестве примера возьмем кине­матическую структуру системы в виде "тройного плоского маятника". Вы­ражение кинетической энергии для этой системы, представленной на рис. 8.4, а, имеет вид

W = + /j + щЦ2 + р+ 2/гр2 cos<72) + h + h +

+ m3 (Z2 +Z2 + рз + 21^ cos q2 + 2lfi3 cos(^2 + q3) + 2/2p3 cos g3) +

+ wc (Z2 + Zf + /3 + 2Z, Z2 cos q2 + 21Х1Ъ cos(g2 + <73) + 2Z2Z3 cos <?3 +

+<72 [w^p2 +12 + /И3 (z22 + Рз + 2Z2p3 cos <7j) + /3 + mc (Z2 + Z^ + 2Z2Z3 cos ^3 +

+ 4з ["ЬРз + /3 + тЛ2] + 2ад2["^(р2 + Лр2 COS^) + /2 + 73 +

+ mc(z22+z32 + z, z2 cos q2+lh cos (<?2 + <7з) + 2Z2Zj cos<73)] +

+29^3 [7Й3 (p^ + Z, p3 cos(^2 +q3) + Z2p3 cos q3 ) +

+ mc(z2 + Z, Z3 cos(g2 + g3) + Z2 /3 cos <?3) + /3 ] +

+2q2q3 [m3 (p2 + Z2p3 cos q3) + mc (z2 + Z2Z3 cos q3) + /3 ]J, (8.23)

где Zb Z2, Z3 — длины звеньев; рь p2, p3- расстояния от осей шарниров до центров масс звеньев; 3- массы звеньев; 1и /2, /3- главные

центральные моменты инерции относительно осей, перпендикулярных плоскости движения звеньев; тс — масса схвата. Для упрощенной модели этой системы (рис. 8.4, б)

+ т3(Z2 + Z2 + Z2 + 2Zj/2 cos q2 + 2ZXZ3 cos (q2 +q3) + 2 Z2Z3 cos <?3)j +

+ <72[т^2 + m3{l2 + /3 + 2Z2Z3 cos^3^j + ^3 WI3Z2 + (8.24)

+ 2<j1^2[m2(z| +ZjZ2 cosg2) + m3(/2 + Z3 + lxl2 cosq2 +

В упрощенной модели каждое звено заменено двумя точечными массами на его концах, а сосредоточенные массы в шарнирах являются сум­мой масс, приведенных к шарнирам соседних звеньев. Для звеньев, имею­щих ось симметрии, проходящую через шарниры, такое размещение масс позволяет выполнить только первые два условия эквивалентности (так называемое статическое размещение массы звена) и поэтому не обеспечи­вает равенства инерционных коэффициентов в выражениях (8.23) и (8.24). Если же для замещения масс второго и третьего звеньев использовать три материальные точки (рис. 8.4, в), а значения сосредоточенных масс выбрать

чг

Рис. 8.4. Подробная динамическая модель исполнительного механизма робота (в) и его упрощенные модели (б, в)

равными

ml = w, pf /1? + /, /12 + 12/ l2p2 J m2 = 12 /(l2 — Р2К2 "*■ /31 ^зРз» тз = тс + /з/(/з-Рз)/з.

М2 — —121(12 Р2)Р2>

М3 = /И3 — /3 /(/3 — р3)р3;

где линейные размеры р„ /,■ соответствуют линейным размерам системы, то

значения инерционных коэффициентов в выражении кинетической энергии станут тождественно равны инерционным коэффициентам в уравнении (8.23), а модель и система становятся полностью динамически эквивалент­ными.

Таким образом, для полной динамической эквивалентности системы и модели число замещающих точек должно выбираться с учетом числа разде­ляемых параметров в выражениях инерционных коэффициентов системы. Вместе с тем, несмотря на неполную динамическую эквивалентность упро­щенной модели (см. рис. 8.4, б) и системы (рис. 8.4, а), структура выражений инерционных коэффициентов в уравнениях (8.21) и (8.22) одинакова.

В общем виде эти выражения можно представить так

пп =ЛИ + Bncosq3 +Cncos(^2 + q3) + Dn cosq2,

A A A A

7C12 = Aj2 "b 5|2 COS “b Cj2 COS (^2 ^3 ) -^12 COS ^2»

7І13 = A13 + S13 cos<?3 + C13 cos (^2 + #3)»

7^22 — A22 B22 COS >

^23 = "*■ ^23 COS $3 *

"33 = ^33’

причем коэффициенты при функциях обобщенных координат и свободные члены — константы. Как видим, отличие модели от системы состоит лишь в численном значении констант.

К этому можно добавить, что соотношения между константами

^22 = ^12» ■4з=Аз=4з’ -®І1=25і2»

Си = 2С,2 = 2С13, Е)ц = D22 = DX2 = 2.Dj3 = 2D23

выполняются как для модели, так и для системы.

Аналогичный результат нетрудно получить и для систем, в которых звенья совершают пространственное движение. В этом случае для полу­чения модели, практически эквивалентной системе, для каждого звена требуется большее число замещающих точек. Однако и здесь выражение кинетической энергии для упрощенной модели с точностью до констант повторяет выражение кинетической энергии для системы.

В заключение можно сделать вывод, что рассматриваемые упрощенные модели хорошо учитывают специфику систем, а отличия, возникающие при конкретных расчетах, могут быть легко устранены соответствующим заданием констант.