Матрицы частных передаточных отношений являются эффективным инструментом для анализа более "полных" моделей кинематических цепей привода звеньев, содержащих упругие элементы и зазоры [8]. Введение в модель упругостей и зазоров увеличивает размерность системы, поскольку каждый из этих элементов определяет дополнительную подвижность механизма, зависящую от условий силового нагружения. Исходя из этого, для описания кинематической модели, содержащей упругие элементы передач (рис. 5.17,а), введем два расширенных вектора обобщенных координат размерностью L> п, каждый из которых описывает состояние модели.
Первый расширенный вектор q образован п относительными углами
поворота (<?[,…, qn) звеньев руки и (L — п) перемещениями (qn+ь…, qL) сечений деформируемых элементов механических передач относительно звеньев руки, на которых они установлены.
Соответственно второй расширенный вектор iji той же размерности
образован п углами поворота (|fi,…, у„) валов двигателей и (L — п) деформаций элементов передач. Введение таких расширенных векторов позволяет одновременно учитывать податливость всех элементов системы и рассчитывать статические нагрузки в элементах сложных кинематических цепей. Взаимосвязь между введенными расширенными векторами определена кинематикой руки и описывается выражением, аналогичным (5.1),
Aili = A/Aq, ф = A^q, (5.34)
где f- расширенная матрица частных передаточных отношений, размерностью LxL.
Для учета зазоров в кинематических цепях привода воспользуемся аналогичной системой (рис. 5.17,6). Для каждой цепи или ее участка выбирают звено приведения. Оно "разрывается" и затем "связывается" фиктивной кинематической парой пятого класса с ограниченным перемещением на величину приведенного зазора. Как и в случае упругостей, вводят два расширенных вектора обобщенных координат q и i|i, (j = 1,…,L), в которых і — п + 1,…, L — углы поворота выходных элементов фиктивных кинематических пар, а і = п + 1,…, L — перемещения входных элементов.
Тогда кинематика модели с зазорами, как и модели с упругостями, будет описываться линейным соотношением
Дф = A5Aq; »ji = Asq. (5.35)
Здесь А5 — расширенная матрица частных передаточных отношений модели цепей привода с учетом зазоров.
Соотношения (5.34) и (5.35) описывают кинематические связи механизма с L степенями свободы (не следует путать число степеней свободы механизма с числом степеней свободы захвата как твердого тела (см. раздел 3.1)).
Рис. 5.17. Расширенные кинематические схемы цепей привода звеньев робота, учитывающие упругость передач (а) и зазоры в шарнирах (б)
Методика нахождения матрицы (или А5) аналогична описанной в разделе 5.1. Сначала фиксируют все qh кроме первого, и ищут передаточные отношения между приращениями Aqx и приращениями Д|/, (і = 1,…, L). В
|
(5.36) |
результате получают первый столбец матрицы Af. Затем этот цикл повторяют для q2 и т. д. до qL. Для модели, представленной на рис. 5.17,а, в которой приводы установлены на основании, а к звеньям ведут кинематические передачи, каждая из которых имеет податливость, матрица имеет вид
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
|
А’ = |
При определении элементов матрицы координаты qt менялись в положительном направлении (против часовой стрелки), а сжатие пружин принималось за положительное направление изменения у,-.
При удалении из структуры механизма какой-либо упругости число степеней свободы механизма уменьшается на единицу; в матрице (5.36) вычеркиваются соответствующие строка и столбец, а также корректируются некоторые оставшиеся строки матрицы. Если, например, четвертый элемент кинематической цепи привода принимается абсолютно жестким, то V4=0 и из четвертой строки матрицы (5.36) имеем
^4= 4з-$4= 0. (5.37)
После вычеркивания четвертых столбца и строки корректируется пятая строка, поскольку в ней на пересечении с вычеркиваемым четвертым столбцом стоит 1. На основании (5.37) строка имеет следующий вид:
^^.=[0 1 1 -1 0 0 0 0].
Если далее последовательно положить |/5 = 0, а затем v|/6 = 0, то аналогично будем иметь
(x(/5 = 0)^(95=92+93)^LA/J7,=[1 110-100].
(Ve = 0) —»(tf6 = tf2) -* LA/J8>i = [i 1 0 0-10].
Формально можно пользоваться следующим правилом приведения: если у, обращается в нуль, то из строки j расширенной матрицы, содержащей значащий элемент a]t Ф 0, стоит вычесть строку і, каждый элемент которой умножен на коэффициент приведения (а#/аи), а затем вычеркнуть из матрицы А/ (или А ) і-ю строку и і-й столбец. Если элементы матрицы Af — единичные, что имеет место в рассматриваемом примере (см. (5.36)), то afi/ а„ = -1, поэтому к строке j, содержащей единицу в і-м столбце, следует прибавить і-ю строку.
Используя это правило, при |/4 = |/5 = |/6 = 0 из (5.36) получим матрицу А7, связывающую вход (V|/,, V|/2, |/3, V|/7, Щ, V|/9) и выход (qu q2, q3, q7, q%, q9) механизма для случая, когда все податливости приведены к валам двигателей
|
‘0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
И, наконец, если у7 = у8 = у9 = 0, то в этом вырожденном случае, когда все элементы привода звеньев руки абсолютно жесткие, получим уже известную матрицу А частных передаточных отношений механизма
‘1 0 01
Af =А =
Таким образом, расширенные матрицы Af или А8 дают более общее описание механизма: матрица А получается из Af или А8 как частный случай. Заметим также, что если в качестве элементов, к которым приводятся зазоры в передачах, выбрать элементы, податливость которых учитывается, то Af= А.