При известных реальных конструктивных параметрах a*, t*, а*

(/ = 1, п ) звеньев руки, используя равенство Mq„ = Мпр, можно определить

n-мерный вектор q* значений обобщенных координат, учитывающий погрешности изготовления и сборки манипулятора. Однако такой алгоритм нахождения решения крайне неудобен. Это связано с тем, что наличие первичных ошибок Да, Ф 0, Дґ, Ф 0, Да, Ф 0 приводит к кинематическим

структурам, для которых не существует решения обратной задачи о положениях в явном виде (см. гл. 3). Вместе с тем равенство М0„ = Мпр, в котором матрица М0„ составлена по номинальным значениям параметров а,,

г„ а, (т. е. Да, = Дг, = Да, = 0), для подавляющего большинства используемых

структур роботов дает решения д,(/ = 1, п ) в явном виде. Последние связаны

с q* соотношением

Я] = <7, + Д?,-

Для программных координат ф соответственно можно записать

V* =V,-+AV,-

Для получения расчетных зависимостей Aq = Aq(qiy Да,, Дг,, Да,), учитывающих первичные ошибки изготовления и сборки манипулятора, целесообразно воспользоваться известным правилом [30] переноса ошибок и линеаризацией исходных формул.

Задача состоит в поиске таких значений Дд,, которые компенсируют

обусловленный погрешностями Да/5 Ath Да,, (/ = 1, п ) шестимерный вектор

AS = [Ax, Ay, Az, в*, 0r 0z]r,

где Ax, Ay, Az — смещения центра n-й системы координат, a Qx, 0>( 0г — малые углы ее поворота относительно осей базовой системы координат, например

Хо, Yq, Zq.

Из элементов вектора AS можно составить (см. гл. 3) [4 х 4]-матрицу АМ0п малых смещений Аде, Ay, Az и поворотов 0Л, ву, 6Z координатной

системы рабочего органа манипулятора относительно ее номинального положения

‘1	-в*	в,	! Дх"
ег	1	-е,	і Ay
-в.	в,	1	і ^
о	0	0	I 1 j

Именно в таком виде (с одинаковым физическим содержанием элементов) представим матрицы малых смещений и поворотов рабочего органа механической руки, определяемые в одном случае погрешностями Да,, At,-, Асіі (і = 1, п ) конструктивных параметров звеньев руки, а в другом — приращениями Aqi обобщенных координат.

Тогда для первого случая элементы четвертого столбца матрицы ДМол(Да, At, Аа) будут элементами четвертого столбца матрицы (M0rt-MQrt), а ее подматрица направляющих косинусов определяется произведением

дк;„(да, Дг, Да)=(к0п-к;п)(к;„г1.

Во втором случае последовательным дифференцированием произве-

п

дения м;„ = Пм;., по обобщенным координатам qi(i = l, n ) определим

/=1

сначала матрицу:

дм;„(д9) — — £4г^,(аси/а*)ми.,

;=1 i=i

а затем комбинацией ее четвертого столбца и подматрицы

AK*0n(Aq) = AKln(Aq)(K*0nr1

получим [4 х 4]-матрицу ДМоп(Д<?).

Приравняв соответствующие элементы (т)41, (т)42, (йТ)43, (т)32, (т)13, (т)21 матриц AMjn(Да, At, Аа) и ДМо„(Д^), получим искомые расчетные зависимости в виде шести независимых линейных однородных

JAq = AS,

(7.2)

где J = [dSj/dg,-] — [6 x и]-матрица Якоби, связывающая приращения обобщенных координат qt и изменения элементов ASj вектора задания. При этом элементы матрицы J рассчитывают с учетом фактических размеров a*, a*, t* звеньев руки.

Отметим, что матрицу ДМо„(Да, At, Да) и, соответственно, вектор AS можно вычислить и по другому — линеаризовав исходное выражение М0л по соответствующим параметрам а„ г„ а, (і = 1, п ) и определив затем полный дифференциал функции М0п при заданных погрешностях Да,-, Д f„ Да,,

(i = 1, п ). Однако точность последующего решения задачи компенсации в этом случае ухудшится за счет ошибок линеаризации.

Решение системы (7.2) при п = 6 имеет вид

Д^Г’Дв. (7.3)

Нахождение решения, т. е. вектора корректирующих поправок Aq, связано с обращением матрицы J. Эта процедура ограничивает практи­ческое использование решения (7.3), во-первых, из-за возможного изменения ранга матрицы (ее вырожденности) в особых конфигурациях, а, во-вторых, из-за применимости только к ПР с шестью степенями подвижности. Ниже рассмотрено решение этой системы с использованием известного [1,3] аппарата псевдообратных матриц и нахождением псевдорешения при любых размерности и ранге матрицы J.

Рассмотрим два практически важных случая. Пусть число степеней подвижности робота п < 6. В этом случае вектор задания уже не имеет 6 независимых компонент, а вектор ошибок сохраняет размерность, равную

6. Система (7.2) становится несовместной и точного решения не существует. Задача может быть решена путем выбора некоторого компромисса — все требования могут быть удовлетворены не полностью. Будем искать значения Aqt, которые так частично компенсируют компоненты вектора

AS, что обеспечивается минимум квадрата евклидовой нормы || є ||2 = еге

вектора невязки є = AS — JAq.

Этому условию ^||є||2=о) соответствует нормальная система урав­нений

JrMq = JrAS, (7.4)

которая независимо от системы (7.2) всегда совместна [3]. Для рассмат­риваемого случая и < 6 из (7.4) следует единственное решение

Aq = [JrJr’JrAS,

где [JrJ]_lJr= J+- псевдообратная матрица для матрицы J при линейной независимости столбцов последней.

Если число степеней подвижности п> 6, система по своим возмож­ностям становится "избыточной" и имеет множество решений. Выбор приемлемого решения можно осуществить, используя критерий минималь­ности нормы вектора решения Aq. Это означает требование минималь­ности суммы квадратов величин корректирующих поправок по всем степеням подвижности робота. Такое решение называется нормальным псевдорешением системы линейных уравнений, причем каждая система линейных уравнений имеет единственное нормальное псевдорешение. В рас­сматриваемом случае нормальное псевдорешение системы (7.2) имеет вид

Aq = Jr[JJr]_1 AS,

где Jr[JJr]_1 — псевдообратная матрица для матрицы J при линейно независимых строках последней, которую также обозначают J+.

Найденные выражения для компенсирующих поправок обобщенных координат и известный вектор Дфд ошибок установки нулей датчиков

положения позволяют найти корректирующие поправки для управляющей программы, компенсирующие геометрические ошибки положения рабочего органа робота

Aj/r = AAq — Аі|ід = АГ AS — Дфд. (7.5)