При решении кинематической задачи синтеза механизмов стереотипных движений по кинематическим уравнениям (5.25), (5.26) мы отмечали, что при реализации таких движений путем наложения механических связей чис­ло степеней свободы системы уменьшается, а число приводов в системе ста­новится избыточным. Возникает вопрос, как управлять системой, т. е. какие приводы должны быть задействованы, а какие отключены. Действительно, условия реализации стереотипных движений, осуществляемых методами кинематического замыкания, эквивалентны условиям работы роботов с объектами, на которые наложены связи. В этом случае неточности программного управления часто приводят к заклиниванию механизма и к существенному увеличению нагрузок в приводах звеньев руки робота.

Анализ статики двигательной системы робота при механической реали­зации стереотипных движений позволяет оценить нагрузки в приводах в зависимости от конфигурации руки и в соответствии с этим построить алгоритм управления приводами [30].

Пусть для определенности уравнения (5.25) имеют вид геометрических условий, т. е. не содержат скоростей. Тогда система уравнений f(q) стерео­типного движения в обобщенных координатах q, которой мы будем в даль­нейшем пользоваться, имеет вид

(6.13)

m

Считая связи идеальными, воспользуемся для анализа статики методом неопределенных множителей Лагранжа [20]. В общем случае уравнения равновесия системы, положение которой определено п обобщенными коор­динатами q,{i =1,2,…, п), связанными m уравнениями конечных связей (при механической реализации стереотипных движений это уравнения (6.13)), имеют вид

(6.14)

где Xj — множители Лагранжа, Qt — обобщенные силы.

Обобщенная сила Q; представляет собой алгебраическую сумму приве­денных к обобщенной координате <у, внешних сил М", приложенных к звеньям руки робота, и приведенных к этой же координате реакций приво­дов М’. Для каждой заданной конфигурации руки робота, удовлетворяю­щей уравнениям связей при заданных внешних силах, система (6.14) из п уравнений содержит (п + т) неизвестных: п моментов в приводах и т мно­жителей Лагранжа. Это и есть отражение понижения числа степеней сво­боды за счет наложения кинематических связей. Следовательно, можно произвольно задать любые т моментов в приводах, например отключить т приводов, т. е. считать их моменты равными нулю. Тогда остальные (п-т) моментов приводов и реакции связей определятся однозначно.

При этом если уравнения (6.13) стереотипного движения линейные, система уравнений (6.14) будет также линейной, и значения моментов при­водов и сил реакций связей не будут зависеть от конфигурации руки робота.

В противном случае значения искомых моментов приводов и реакций зависят от конфигурации руки робота. Цель анализа статики двигательной системы робота при наличии кинематических связей состоит в поиске таких особых конфигураций рук робота, в которых проявляются эффекты самоторможения по отношению к моментам, развиваемым в оставшихся включенными (п-т) приводах. В особых конфигурациях даже бесконечно большие значения моментов этих (п-т) приводов не удовлетворяют условиям статического равновесия. Следовательно, в особых кон­фигурациях нельзя провернуть механизмы со стороны анализируемой группы приводов. Однако сказанное не означает, что конкретная особая конфигурация руки робота, выявленная при рассмотрении одной группы приводов, будет также особой при изменении состава группы из (п-т) приводов.

Процесс поиска особых конфигураций относительно группы "вклю­ченных" приводов заключается в поочередном "отключении" некоторых т из п имеющихся приводов. Число возможных вариантов совместной работы (п — т) приводов из п имеющихся равно числу сочетаний С”. Анализ статики этих вариантов позволяет определить запретные для той или иной группы приводов зоны в пространстве конфигураций руки робота для исследуемого стереотипного движения и построить в соответствии с результатами анализа алгоритм управления приводами.

В качестве примера, имеющего практическое значение, рассмотрим в соответствии с описанным алгоритмом статику руки робота при реализации стереотипных движений по вертикальным прямым (см. рис. 5.15, е и уравнение (5.33)) методом включения кинематической связи между выход­ными ползунами синусных механизмов (см. рис. 5.13, 5.16). Модель рас­сматриваемой системы представлена на рис. 6.7.

Оставив читателю возможность самостоятельно определить геомет­рические границы области существования вертикальных траекторий точки А и особые положения модели, обусловленные структурой скелета руки, сосредоточимся на методике и результатах силового анализа. Координаты кривошипов синусных механизмов суть q2 и (q2 + <?з); — я < q$ < к; — п < q2 < л.

Пусть в точках В и А приложены вертикальные силы Рх и Р2 соответ­ственно, двигатели Д2 и ДЗ установлены с механизмом компенсации (МК) кинематического взаимовлияния, т. е. его входные валы отрабатывают углы?2и^3 соответственно, а моменты на них являются моментами М2 и М’г, приведенными к обобщенным координатам. Приведенные же к обобщен­ным координатам моменты от сил нагрузки будут

М”= P2lcos(q2+q3) + (Pl + P2)l cos q2,

Л/j — P2l cos(q2 q^), где /| = l2 = l — длины звеньев робота.

Рис. 6.7. Кинематическая схема механизма замыкания для реализации движений центра схвата по вертикальным прямым

Тогда при отключенном приводе ДЗ (М’ъ =0) система (6.14) принимает

вид

М’ + М’Ч А,(Э//Э?2) = 0,

М”+ Х(Э/ / Э<73 ) = о,

откуда после подстановок и решения определяется момент, развиваемый приводом Д2,

М2 =[P2lcos(q2 + q3)svaq2 ~(Р{ + P2)lsm(q2 + q3)cosq2]/sin(^2 + q3), (6.15)

стремящийся к бесконечности при (q2 + q3) —» кк, k = 0, 1, 2,….

Последнее соотношение и определяет семейство особых конфигураций руки робота, при которых усилия привода Д2 воспринимаются полностью механической связью. Это семейство конфигураций характеризуется гори­зонтальным положением третьего звена руки.

При отключенном приводе Д2 (М’г = 0) получим условия равновесия в виде

М2 + Х(Э/ / dq2) = 0,

M3 + M3+X(dfldq3) = 0,

откуда

М3 = [~P2l cos (q2 + q3)- sin q2 +

+(/*, + P2 )l cos q2 • sin(^2 + q3)] /[sin q2 + sin(g2 + q3)]. (6.16)

Следовательно, в этом случае семейство конфигураций руки робота, при которых никакие усилия от привода ДЗ не могут уравновесить нагрузку, определено соотношением

Чъ — -2#2-

Это семейство конфигураций характеризуется положением точки А на оси х.

Вид зависимостей моментов приводов от координаты у точки А ослож­нен возможностью существования двух конфигураций руки робота ("локтем вверх" и "локтем вниз"), удовлетворяющих условию принадлежности точки А прямой х = const. На рис. 6.8, а, б представлены такие зависимости для каждого из вариантов.

Отметим характерную особенность полученных зависимостей: конфи­гурации, определяющие наихудшие условия работы одного из приводов, соответствуют одновременно наилучшим условиям для второго привода. Приравняв выражения (6.15) и (6.16), с учетом существования двух конфигураций, удовлетворяющих условию принадлежности точки А прямой х = const, получим условия предпочтительной работы того или иного привода в виде неравенств

при q3> 0

Іесли sin q2 + 2 sin(g2 + qz) > 0, то M’2 = О,

если sin q-,+2 sin(fl, + q,) < 0, то M’7 = 0;

(6.17)

при q3 < 0

(если sin q2 + 2 sin(g2 + <?3) > 0, to M2 = 0, если sin q2+ 2 sin(g2 + g3) < 0, то M3 = 0.

Казалось очевидным, что условия заклинивания механизма, реализую­щего исследуемое стереотипное движение (см. рис. 6.7), должны сводиться к q2 кк (к = 0, 1, 2,…) при отключенном приводе Д2 и к (q2 + q3) —> кк при

отключенном приводе ДЗ. Однако, как мы видим, при установке приводов с механизмом компенсации это не так. Для схемы, в которой приводы уста­новлены без механизма развязки, выписанные условия заклинивания имеют место. Примером такой схемы является схема, представленная на рис. 6.2.

Действительно, в этом случае изменится момент привода ДЗ, приве­денный к обобщенной координате q2: он будет равен не нулю, а собственно моменту привода ДЗ. Поэтому выражения для моментов приводов Д2 и ДЗ, аналогичные по смыслу выражениям (6.15) и (6.16), будут

М2 = [P2lcos(q2 + q3)sinq2 —

-(P{ + P2)lcosq2 ■ sin(<?2 +q3)]/sin(q2 + q3) при M3′ = 0,

(o. lo)

M3 = [~P2l cos (q2 +q3) sin q2 +

+ (Pl+P2)lcosq2 ■ sin(g2 + qz)]/sinq2 при M2= 0.

Отметим, что в силу свойств системы без механизма компенсации разви­ваемые моменты М2 или М3 воспринимаются приводом Д1. Зависимости этих моментов от координаты у для двух различных конфигураций руки робота без механизма развязки представлены на рис. 6.8, в, г.

Рис. 6.8. Моменты приводов при включении механизма кинематического замыкания в зависимости от конфигурации — “локтем вниз” (я, в), “локтем вверх” (б, г), а также от схемы привода — с механизмом компенсации (а, б), без механизма компенсации (в, г)

Выражения (6.18) определяют условия предпочтительной работы того или другого привода

при q3> 0 при <?з < 0

Г если sin q2 + sin(g2 + q3) > 0, то М’ъ = О,

(6.19)

[если sin q2 + sin(<72 + q3) < 0, то М2 = 0;

(

если sin q2 + sin(g2 + q3) > 0, то M’2 = 0, если sin q2 + sin(q2 + q3) < 0, то М’г = 0.

Характерная особенность найденных особых конфигураций и условий предпочтительной работы того или иного привода в рассмотренных случаях заключается в том, что они не зависят от внешней нагрузки. Заметим также, что аппаратурная реализация управления приводами по условиям

(6.17) или (6.19) не вызывает трудностей.

Рациональное использование установленной мощности приводов робота при механической реализации стереотипных движений требует не отклю­чения привода, находящегося в невыгодных условиях, а включения его та­ким образом, чтобы помогать выполнению требуемого движения. При этом регулированию подлежит не скорость привода, а развиваемый им момент. Очевидно, что для обеспечения возможности такого регулирования каждый привод должен содержать два блока: блок управления по скорости и блок управления по моменту, включаемые попеременно. Приводы, включенные согласно условиям реализации стереотипного движения (например, (6.17) и (6.19)), управляются как обычно — по скорости, а "отключаемые" — по моменту.

Представляется целесообразным построение экстремального ре­гулятора величины и знака помогающего момента, минимизирующих нагрузку на выходном валу привода, управляемого по скорости [15]. Вместе с тем возможны варианты с частичным решением задачи, когда помогающий момент является функцией только обобщенных координат, построенной для известной нагрузки. Такие функции можно воспроиз­водить с помощью простейших электромеханических вычислительных устройств. К частичному решению, дающему также положительный эффект, относится случай с постоянным по величине помогающим моментом, равным среднему значению сил трения, приведенных к валу привода. В этом случае регулированию подлежит знак развиваемого момента.

Так как знак момента должен соответствовать знаку скорости вы­ходного вала привода, рассматриваемого как ведомое звено, то и задача сво­дится к определению знака скорости.

Выше упоминалось, что при реализации стереотипных движений, подчиняющихся линейным уравнениям, не существует конфигураций руки робота, в которых проявляются эффекты самоторможения, и, следователь­но, режим работы произвольно выбранных (п-т) приводов, управляемых по скорости, не меняется в процессе выполнения движения. Также не меняется режим работы т приводов, управляемых по моменту. Законы этого управ­ления определяются кинематической схемой руки робота, а значит матри­цами частных передаточных отношений. Ниже для некоторых из описанных
стереотипных движений приведены законы управления моментом помогающего привода.

При отсутствии механизма компенсации угловые скорости vj/2 и vj/3 (6.9) выходных валов в стереотипном движении (см. рис. 5.15, в) связаны соот­ношением

¥з=2Уі-¥2.

определяющим алгоритм управления моментом привода, например

signAfj = sign(2j/j — j/2).

В заключение рассмотрим решение задачи управления знаком момента помогающего привода в случаях, когда уравнение стереотипного движения нелинейное.

Для кинематической схемы руки робота, представленной на рис. 6.2, уравнение стереотипного движения (5.33) в координатах |f, выходных валов приводов принимает вид

COS(V|/2-Vi) + COS(V|/3-V|/|) = const.

Продифференцировав его по времени, получим соотношение, связы­вающее скорости у,- выходных валов приводов, из которого для участков движения, где привод Д2, согласно условиям (6.19), управляется по моменту, a f,, j/3 заданы, следует

signМ’г = signjf2 = sign{xj/j -[(j/3 — yj)sm(v3 — y^/sinO)^ -|/,)}.

Для участков, где согласно (6.19), привод ДЗ управляется по моменту, а jij, j/3 заданы,

signМ3 = signj/3 = sign{j/j -[(j/2 — xj/^sin^ — XI/jXI/sinOlTj — V!)}.

Полученные выражения с учетом равенств

?2 + 9з = ¥з-¥і и^2 = |/2-|/,

показывают, что для управления знаками помогающих моментов в конфи­гурациях, которым соответствует смена знака помогающего момента, на­грузка от этого момента целиком воспринимается связями (6.18). Поэтому в алгоритмах управления помогающим моментом следует предусматривать зону вблизи особых конфигураций, в пределах которой помогающий мо­мент равен нулю.