Введем понятия о шарнире и суставе руки. Под шарниром будем понимать некоторый конструктивный блок, реализованный на основе одной вращательной кинематической пары, а под суставом — блок на основе двух вращательных кинематических пар, т. е. сустав руки всегда содержит два шарнира. Таким образом, если два шарнира конструктивно "сближены", удобно различать суставы руки, а если разнесены — шарниры руки. Каждый из шарниров сустава может быть приведен в действие по "своей" кине­матической цепи, выполненной с применением кинематических передач различных типов: рычажных, зубчатых, тросовых и т. п.

На рис. 5.7, а показан сустав, выполненный с применением зубчатых передач. Здесь к каждому шарниру, обеспечивающему сгибание <?, или ро­тацию q2, ведет отдельная кинематическая цепь, входами которой являются шестерни 1 и 2 соответственно.

Возможен и другой принцип построения сустава руки (рис. 5.7, б), когда сгибание qx и ротация q2 в соответствующих шарнирах обеспечиваются при одновременной подаче вращений на шестерни і и 2. Их вращение в разные стороны определяет сгибание qh а вращение в одну сторону — ротацию q2. Здесь обе кинематические цепи имеют общий элемент, в данном случае блок конических шестерен 3.

Можно представить себе схему руки с произвольным числом п степеней подвижности, все шарниры которой строятся по принципу, отраженному на рис. 5.7, а, т. е. каждый шарнир управляется по одной кинематической цепи. Подобным схемам роботов с произвольным п в кинематическом отношении адекватны модели, представленные на рис. 5.8, а, (двигатели расположены в шарнирах руки) и рис. 5.8, б (использованы шарнирно-рычажные кинема­тические цепи). Можно представить себе также и другую полную схему руки с произвольным (но четным) п, где все суставы строятся по принципу,

i — sCSt

Рис. 5.7. Типовые суставы руки робота

отраженному на рис. 5.7, б, т. е. каждый шарнир управляется по двум кине­матическим цепям.

(5.12)

Схемы рук, каждая из которых использует только один из двух описанных выше принципов, будем называть типовыми, отличая их от смешанных схем, где одновременно используются оба принципа. Ниже рас­смотрены две выделенные типовые схемы двигательных систем роботов. Очевидно матрица Ар частных передаточных отношений для руки, приве­денной на рис. 5.8, а, — диагональная, а на рис. 5.8, б — треугольная

’«п	о!	ю	0 ‘
«21	«22 !	|0	0
ап-,1	°п~ 1.2 !	Г “ J «л—1,л—1	0
. аШ	ап2 !	! ап. п-1	°пп.

Ар =

Для первой типовой схемы матрица Ар оказывается треугольной, и в частном случае диагональной, независимо от того, является ли механизм руки плоским или объемным. Это означает, что поворот в любом шарнире может оказывать кинематическое влияние только на все последующие шарниры (вплоть до захвата) и не оказывает никакого влияния на преды­дущие. В общем случае все значения ау различаются. При этом собственно величина ау и определяет степень влияния. Рассмотрим вид матрицы Ар’, определяющей структуру механизма компенсации [10,11]

A”1 = [Ajj/ det[ay]],

где Aji — алгебраическое дополнение (адъюнкта) элемента а у в определителе

1Ар1 (i, j= 1,2 ,…,n).

Вычислим обратные матрицы А”1 при п = 2, 3 и 4. Они имеют вид при и = 2

22 -«21

0

Яп ~ Яп-1 “ ¥л-1 Ят ~ Vm

Я2= ¥2 <7l = Vl

Рис. 5.8. Модели руки робота с п степенями подвижности с суставами первого типа. Здесь же представлены нагрузки Рт (т = 1,л) для расчета максимальных моментов Мт двигателей для этих моделей

при п = 3

(5.14)

^22^*33 О О

— (1/япа22язз)

~”^21^33 ЯцЯзз О

. ^21^32 ”^22^31 ~а\а32 аиа2.

при П = 4

^22^33^44 ^ 0 0

—^21^33^44 а\аЪЪаЛА 0 0

^ ^11^32^44 ^11^22^44 ^

** ***

& С1 ~~С1^ 1^22^43 ^11^22^33

а “021а32а44

а = “^21^32^44 ” ^41^22^33 ^21^42^33 ^31^22^43>

***

а — «п«32«43 — «п«42«зз-

Анализ матриц (5.13)—(5.15) позволяет сделать вывод, что в них все элементы, не принадлежащие главной диагонали и первой поддиагонали, могут быть обращены в нуль, если наложить некоторые условия на пере­даточные отношения ау. Действительно, все упомянутые элементы пред­ставляют собой многочлены, составленные из произведений ау, в которых чередуются положительные и отрицательные знаки.

Элементы главной диагонали и первой поддиагонали — одночлены, которые с учетом физического смысла задачи не могут принимать нулевые значения. Так, если в (5.12) все значащие элементы в каждом столбце сделать равными, т. е.

«И = «21 = «зі = • • •= ап = «і >

#22 —

’32

:— ап2 — а2,

азз

пЗ

(5.16)

а — а.

пп п»

то матрицы (5.13)—(5.15) можно переписать в виде

1/5, О

-1 /а2 Ма2 1/5, 0 0 -1/Й2 Ма2 0 » 0 -Гаг 1/«з_ 1/й, 0 0 0 1/02 1 /а2 0 0 0 -1 / аъ 1 /а3 0 0 0 -1/а4 1 /а4

к=

(5.17)

Применив метод неполной математической индукции, матрицу Ар1, об­ратную матрице (5.12), можно записать в виде

1/а,	0	0	0	0	0
-1 /а2	1 /а2	0	0	0	0
0	-1/йз	1/йз	0	0	0
0	0	-1 /а4	1 /а4	0	0
0	0	0	0 .	. -1 Гап	1/а,

Матрица (5.17) полностью определяет кинематику механизма развязки, число и даже тип входящих в него устройств. Вид полученной матрицы, в которой "сохранились" только элементы двух диагоналей, указывает на то, что при выполнении условий (5.16), наложенных на передаточные отно­шения кинематических цепей привода звеньев, механизм компенсации мо­жет быть реализован с использованием минимального числа дифферен­циалов. Для рук с п степенями подвижности это число составляет (п — 1).

(5.18)

Для второй типовой схемы, которая строится при последовательном наращивании двухшарнирных суставов (п = 2,4, 6…), и в которой каждый шарнир управляется одновременно по двум каналам (см. рис. 5.7,6), вид матрицы Ар отличается от (5.12)

«11	«12	0	0	. 0
«21	«22	0	0	. 0
«31	«32	«33	«34	. 0
«41	«42	«43	«44	. 0
а(п-1)1	«(/>-1)2	«(л-1)3	«(л—1)4 •	• «(л 1)л
.«„1	«л2	«лЗ	«л4	• «лл.

А =

Для этой матрицы характерно наличие наддиагональных элементов, являющихся вершинами [2х2]-блоков. Последние характеризуют кине­матику упомянутых двухшарнирных модулей руки. Выполнив исследование, аналогичное приведенному выше, и наложив условия

«И = «21 = «31 = «41 =•••= «(л-1)1 — «лі ~ «1>

—«12 = «22 = «32 = «42 ~ —= «(л-1)2 = ап2 = «2’

«зз = а43 =…= fl(„_i)3 — апЪ = flj, ^ ^

—Oj4 = <344 =…= <з(п_|)4 = ап4 = а4,

«(л-1)л «т ап, можно получить матрицу А”1 с минимальным числом значащих элементоов -1/25, 1/2Й, 0 0 0 0 0 1/2^2 1/202 0 0 0 0 0 0 -1/5з 1/25з 1/2оз • 0 0 0 0 0 -1/2а4 1/2а4 • 0 0 0 0 0 0 0 • -1/«л-> 1/25.., 1/2й„_ 0 0 0 0 0 -1/25* 1/23*

Анализ данной матрицы показал, что механизмы компенсации для рук, построенных на двухшарнирных суставах, требуют минимально (1,5л — 1) дифференциалов, и в этом смысле уступают схемам, имеющим треугольные матрицы частных передаточных отношений. Отметим также, что выпол­нение условий (5.16) или (5.19) при создании механических рук полезно и при программной или электронной компенсации, так как они обеспечивают минимальное число вычислительных операций.