Программное управление движением звеньев механической руки осуществляется, как правило, путем дозирования перемещений, скоростей (или усилий) выходных валов двигателей привода. Организация кине­матических цепей привода от двигателей к звеньям и выбор места рас­положения двигателя каждого звена определяют особенности конст­руктивного оформления главных узлов робота, а также основные матема­тические соотношения, по которым рассчитывается и реализуется его управляющая программа.

Для получения таких соотношений и выявления качественных эффек­тов, возникающих при различной организации цепей привода звеньев, рассмотрим базовые кинематические модели упрощенных механизмов рук робота, а именно рук с двумя степенями подвижности. На рис. 5.1 представ­лены антропоморфные модели, а на рис. 5.2 — ортогональные модели с поступательными парами. Углы поворота валов двигателей Д1 и Д2 обозначены через ^ и |/2. Они образуют систему обобщенных координат ф на входе механизма и характеризуют положение его ведущих звеньев. Сис­тему обобщенных координат q на выходе механизма образуют координаты и q2- относительные углы поворота (или перемещения, см. рис. 5.2) звеньев 7 и 2 скелета руки.

Структуры, представленные на рис. 5.1, а и 5.2, a-в выделяются из всех моделей тем, что в них положение |// выходного вала каждого двигателя определяет только одну обобщенную координату q{ (положение только од­ного звена) и не влияет на величину второй. Такие структуры кине­матических передач привода звеньев будем называть кинематически развязанными. В них отсутствует кинематическое взаимовлияние по сте­пеням подвижности.

Кинематически развязанные структуры получаются, если двигатели ус­танавливают последовательно на подвижных звеньях руки, т. е. двигатель, установленный на /-м звене, приводит в движение (і + 1)-е звено робота (см. рис .5.1, а и 5.2, а). При ортогональных структурах возможно получение кинематически развязанных схем и при установке двигателей на одном звене. Такие схемы реализуются с помощью кинематических пар четвер­того класса (см. рис. 5.2, б, в).

Рис. 5.1. Антропоморфные кинематические модели руки робота с двумя степенями подвижности

В моделях, представленных на рис. 5.1,6, г и 5.2, д, е координата qx положения звена 1 определяется двигателем Д1, a q2 зависит от углов поворота у, и |f2 обоих двигателей. И, наконец, в моделях, представленных на рис. 5.1, в и 5.2, г каждая из координат qb q2 зависит от у, и |/2. Такие структуры будем называть кинематически связанными. В них оба двигателя расположены на одном звене, в данном случае на основании. Движение от двигателя Д2 на второе звено передается с помощью элементов привода, установленных на первом звене. В результате образуется планетарный механизм с перекрестными связями. Подобные кинематически связанные механизмы привода звеньев наиболее часто встречаются в робототехнике.

Для исследования многосвязных систем существует процедура, позво­ляющая по отклику на единичный входной сигнал определить коэффи­циенты уравнений, описывающих поведение системы в целом [21]. Этот подход был впервые использован в работах [5, 19, 20] для анализа сложных планетарных механизмов привода звеньев манипуляторов. Коэффициенты уравнений представляют собой мгновенные частные передаточные отно­шения (і, j = 1, 2,…, п) между входами (координаты ф) и выходами

(координаты q) механизма.

, щ
д1 " /ТТТ7	— 1

Яі

да	f>V2		1 0
/ V.	Ар-
///////		0 1

1	0
0	1

Ар =

1 1 -1 1

Ар =

V2

Z

тії

❖

VI

Vi

Д2

ГЭ&.

Д1

Д2 і

І

¥2

Ж

ї>

± X

*1

її

1	0
-1	1

А?-

Д2

-Д1

<71

V2

V2

-ф 3d

щ

■О

VI

Д2

ж.

і і / !

-Д1

1 0 1 1

Ар ~

<71

Рис. 5.2. Ортогональные кинематические модели руки робота с двумя степенями подвижности

Для механических передач полученные уравнения будут линейными относительно производных координат входа и выхода (систем обобщенных координат). Матрица, составленная из коэффициентов при производных координат, есть матрица А частных передаточных отношений механизма.

Значения Эщ/dqi находят при последовательном "замораживании" всех выходов qh кроме одного, и определяют передаточные отношения от "незамороженного" выхода ко всем входам |/). В качестве примера рас-

смотрим процедуру получения матрицы частных передаточных отношений для модели, представленной на рис. 5.1, г. Зафиксируем q2. Будем изменять на величину Дqx в положительном направлении (против часовой стрелки). Тогда угол |/i изменится на величину Дх^ = Д<?ь а поскольку координата q2 заморожена, то и угол j/2 также изменится на величину Ду2 = Д<7і (поло­жительным направлением вращения двигателей будем считать движение его ротора против часовой стрелки). В результате получим первый столбец матрицы: [1 1]т. Теперь зафиксируем qx и изменим q2 на величину Дq2, тогда Уі не изменится, а угол |/2 полнит приращение Д|/2 = — Дq2. Таким образом, второй столбец матрицы будет: [О -1]г. Матрицы для всех рассматриваемых моделей приведены на рис. 5.1 и 5.2.

Процедура "замораживания" выходов qt превращает механизм с п сте­пенями подвижности в п механизмов с одной степенью подвижности. Повторив эту процедуру для всех qb і — 1,…, п, получим матрицу А частных передаточных отношений Эу/Э#,- размерностью пхп, связывающую прира­щения Д|/, (или скорости j/;) с приращениями Дqt координат (или их скоростями <?,):

Дф = АДя, 4* = Aq. (5.1)

Векторы ф и q образуют две системы обобщенных скоростей меха­низма. Матрица А позволяет перейти от одной системы к другой. При работоспособном механизме матрица А не может быть вырожденной. Ее элементы — мгновенные частные передаточные отношения — равны передаточным отношениям парциальных кинематических цепей привода звеньев (передаточным отношениям соответствующих механизмов с одной степенью подвижности). Для моделей, представленных на рис. 5.1 и 5.2, эти передаточные отношения — константы, равные 0 или ±1. В робототехнике встречаются структуры, для которых элементы Эу/Эя, являются функциями

обобщенных координат. Если в моделях, приведенных на рис. 5.1, поворотные двигатели заменить на шарнирно установленные линейные двигатели (например, гидроцилиндры), то структура матриц не изменится, но вместо каждой единицы появится некоторая функция обобщенных координат. Если элементы матрицы А — константы, то с точностью до постоянных слагаемых (постоянных интегрирования) будет справедливо соотношение, аналогичное (5.1)

»|i = Aq. (5.2)

Физически эти слагаемые определяют взаимную начальную "привязку" систем отсчета обобщенных координат, и их всегда можно обратить в нуль.

Для иллюстрации методики получения элементов матрицы А рассмот­рим кинематическую схему электромеханического робота модели ТУР-10К (рис. 5.3). Все звенья 7-5 руки приводятся от электродвигателей постоян­ного тока Д1-Д5 через волновой редуктор с передаточным отношением

102,5. Датчики положения ДП1-ДП5 (разрешающая способность 215 на оборот) связаны с валом двигателя ременной зубчатой передачей. Ее передаточное отношение в приводах звеньев 2 и 3 равно 45/28, а в приводах звеньев 4 и 5-90/28. Поворотная платформа 7 кинематически связана

Рис. 5.3. Кинематическая схема электромеханического робота модели ТУР-10К

с выходным валом волнового редуктора через беззазорную зубчатую пару с 1= 15,6.

Кинематические цепи механизма привода от выходных валов редукто­ров к звеньям 2 и 3 выполнены в виде шарнирных параллелограммов, а к звеньям 4 и 5 — с помощью цепных передач 12, 13 с передаточным отноше­нием 1. В цепи привода звена 5 дополнительно установлена коническая передача с передаточным отношением 0,5.

Для представленной схемы целесообразно выделить три системы обобщенных координат: q — относительные углы поворота звеньев, t|i’- углы поворота двигателей и >|»- углы поворота датчиков. Эти системы связаны соотношениями (5.1), (5.2), а также

»|f = A1»|i’ = AlAq. (5.3)

Все передачи привода звеньев руки имеют постоянные передаточные отношения, поэтому элементы матриц А и А! — константы. Матрица А, — диагональная; она образована передаточными отношениями кинема­тических передач, связывающих валы двигателей и соответствующих датчиков

А, = diag (15,6/102,5; 28/45; 28/45; 28/90; 28/90).

(5.4)

Матрица А имеет общий множитель 102,5, поскольку приводы всех звеньев содержат одинаковые волновые редукторы. Фиксируя последова­тельно координаты q, кроме одной (сначала qu затем q2 и т. д. до q5) и регистрируя реакцию всех |/,• (/ = 1,…, 5) при изменении "незамороженного" q, по столбцам, получим матрицу

1	0	0	0	0
0	1	0	0	0
0	1	1	0	0
0	1	1	1	0
0	1	1	1	1/2

А = 102,5

Матрица А полностью определяет связь между входными и выходными координатами механизма руки и в этом плане является кинематической передаточной функцией механизма. В дальнейшем мы не будем учитывать (если это не оговорено особо) передачи от двигателей к датчикам поло­жения, поскольку матрица А, для большинства моделей роботов диаго­нальная. Она не изменяет структуры результирующей матрицы А. Физи­чески это будет означать, что датчики положения установлены непосред­ственно на валах двигателей.

Аппарат матрицы частных передаточных отношений оказался очень удобным для решения задач анализа и синтеза различных механизмов робототехнических систем высокой размерности. В главе 3 мы его исполь­зовали для изучения связи между вектором обобщенных скоростей q и вектором V скоростей захвата в декартовом пространстве. С помощью соотношения (3.5) выражение (5.1) преобразуется к виду

ti» = AJ-’V. (5.5)

Соотношения (5.1)—(5.3) и (5.5) широко используют при управлении роботом. При аналитическом программировании позиционного робота каждая позиция захвата определяется в декартовом пространстве. Исполь­зуя формулы решения обратной задачи (например, для ТУР-10К — это

(3.34) , (3.35), (3.37) и (3.38)), находят вектор обобщенных координат q, затем с помощью матрицы частных передаточных отношений по формулам (5.2) или (5.3) переходят к обобщенным координатам ф — требуемым показаниям датчиков. Эти показания становятся программными значениями для нижнего контура регулирования — системы слежения по положению. Рассогласование между фактическим положением датчика и требуемым отрабатывается двигателями, и захват выходит в заданное положение.

Контроль положения захвата осуществляется обратной процедурой. Сначала по показаниям датчиков вычисляют вектор q

(5.6)

q = A’V

(5.7)

Для робота ТУР-10К матрицы А-1 имеет вид

1	0	0	0	0
0	1	0	0	0
0	-1	1	0	0
0	0	-1	1	0
0	0	0	-2	2

А"1 =1/102,5 =

Последовательно перемножая матрицы по формуле (3.14), получают результирующую матрицу М0,„, правый столбец которой в соответствии с (3.13) дает координаты центра захвата, а третий столбец и третья строка — его ориентацию.

При контурном управлении роботом требуемое положение захвата меняется во времени в соответствии с программой движения. Поэтому рассмотренные процедуры должны выполняться достаточно часто (в су­ществующих конструкциях роботов период квантования сигналов состав­ляет 20-40 мс). Отсюда следуют жесткие требования по быстродействию, предъявляемые к алгоритмам вычислительных процедур и к структурам матриц, определяющих эти вычисления.