Из матрицы Якоби частных передаточных отношений видно, что в структурах с вращательными кинематическими парами на ориентацию захвата в равной мере влияют угловые перемещения, реализующие регио­нальные движения запястья и угловые локальные перемещения звеньев запястья. В силу этого обычные конструктивные ограничения подвижности во всех кинематических парах приводят к сложной картине пространст­венных ограничений ориентации схвата, что затрудняет получение аналити­ческих зависимостей в форме, удобной для исследования. Поэтому разра­ботаны методика и алгоритмы численного расчета, которые позволяют определять пространственные углы обслуживания для любых кинема­тических структур рук с учетом ограничений в кинематических парах и толщин звеньев, а также получать результаты в виде наглядных диаграмм распределения характеристик сервиса по объему.

В первую очередь речь идет о структурах, в которых ось захвата может произвольно ориентироваться в пространстве, т. е. захват имеет без учета ротации вокруг его собственной оси симметрии пять степеней свободы. Именно в таких случаях наш критерий — пространственный угол обслужи­вания — имеет смысл. В других случаях следует ввести плоскостные аналоги характеристик сервиса. Максимальное число степеней подвижности струк­туры руки робота не ограничено.

Анализируемую кинематическую структуру необходимо превратить в механизм, замкнутый на стойку, с ведущим звеном — захватом. Для этого захват соединяют со стойкой сферической парой, а при наличии ротации захвата — сферической парой с пальцем [2] или шарниром Гука, поскольку вращение захвата вокруг его оси игнорируется. Число степеней подвиж­ности п полученной кинематической цепи подсчитывают по известной формуле Сомова-Малышева. Нас интересуют механизмы, число степеней подвижности которых равно числу независимых движений ведущего звена, т. е. двум.

Если у замкнутой кинематической цепи п > 2, то части ее обобщенных координат в количестве (и — 2) необходимо дать фиксированные значения и рассматривать уже группу механизмов, отличающихся друг от друга лишь комбинациями фиксированных значений этих координат. Перебор фикси­руемых значений координат через некоторый интервал производится в пределах

Яj min ~4j — Qj шах О" — 1» 2,. •., И — 2),

<7*тіп> <7*max — граничные значения j-й обобщенной координаты.

Другая особенность методики связана со способом задания положений ведущего звена преобразованного механизма, т. е. со способом задания положений захвата. Наша задача — задать точке, характеризующей поло­жение запястья, например точке 3 на рис. 4.1, множество положений, равно­мерно распределенных по поверхности сферы, радиус которой равен длине ведущего звена механизма, т. е. /3.

Простым перебором значений сферических координат точки 3 через равные интервалы не удается достичь равномерного распределения точек по поверхности сферы: получается их большая концентрация на "полюсах" и меньшая на "экваторе" (по аналогии с координатной системой Земли). Наилучшим выходом из положения было бы размещение искомых точек 3 в центрах окружностей, плотно заполняющих всю поверхность сферы. В этом случае точки 3 лежали бы в вершинах решетки из правильных треугольников. Реализовать решетку из треугольников на поверхности сферы можно, если вписать в сферу правильный многогранник с тре­угольными гранями. Существуют лишь три типа таких многогранников [17]: тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с числом вершин соответственно 4, 6 и 12. Для наших целей такого числа точек на сфере недостаточно. Можно воспользоваться тем, что боковая поверхность шарового слоя зависит только от толщины слоя и считать, что точки равномерно распределены по сфере, если относящиеся к каждой точке элементарные поверхности имеют одинаковые площади.

Рядом плоскостей, перпендикулярных, например оси X, можно раз­делить сферу на несколько поясов равной высоты, а каждый пояс на одно и то же число равных частей. Полученные таким образом элементарные площадки будут иметь одинаковые поверхности. Центры площадок могут представлять положения точек 3 на сфере.

Недостатком данного способа назначений положений точек 3 является существенный разброс расстояний между ближайшими точками. Поэтому целесообразно, особенно при относительно небольшом числе точек на сфере (100-200), разбить поверхность сферы плоскостями на четное число поясов так, чтобы их "высоты" по дуге пояса были равны. Верхний пояс, имеющий вид шарового сегмента, делится меридианами на четыре равные треугольные области. Каждый из остальных поясов делится на такое число равных областей, чтобы их площади были примерно равны площади полярного треугольника. Как показали расчеты, в этом случае даже при числе поясов, равном 8 (общее число точек N = 104), неравномерность разбиения сферы невысока.

Третья особенность методики обусловлена спецификой рассматри­ваемой структуры и связанными с ней возможностями и результатами решения обратной задачи о положениях. Если существует решение обрат­ной задачи о положениях (см. гл. 3) и известен граф поиска комбинаций решений для заданной структуры, то последующий процесс определения характеристик сервиса трудностей не вызывает. В противном случае требуется привлечение методов последовательных приближений для ре­шения обратной задачи о положениях и дополнительный анализ реали­зуемости той или иной комбинации корней.

Полученные комбинации обобщенных координат qt для исследуемой структуры в разработанном алгоритме сравниваются с ограничениями под­вижностей q*min, <7*max в шарнирах. Кроме того, для каждой комбинации корней проверяется реализуемость положения по признаку отсутствия пересечения звеньев заданных геометрических размеров. Если хотя бы одна комбинация удовлетворяет обоим ограничениям, то положение захвата

манипулятора считается реальным. Таким образом, проверяются все N выбранных положений захвата внутри сферы. В результате выявляются число к реальных положений, которые в исследуемой точке пространства определяют пространственный угол сервиса Ф. Коэффициент сервиса определится отношением

Q = k/N.

Сервис манипулятора 0 характеризуется средней величиной коэффи­циента сервиса по объему, в котором равномерно распределено к точек, т. е.

_ *

© = £ в/к.

і

В качестве примера рассмотрим исполнительный механизм, представ­ленный на рис. 4.3. Особенность его структуры заключается в том, что она содержит группу 3+ и две пересекающиеся группы 2" и 2+. (Одна кине­матическая пара входит в каждую из этих групп). При любом представлении этой структуры — 2+-1-3+ или 1-2"-3+ — обратная задача о положениях для нее решается в явном виде. Как будет показано ниже, алгоритм решения полностью соответствует случаю 1-2”-3+ (см. рис. 3.10). Перемещения по каждой обобщенной координате ограничены (q* — соответствующие предельные значения обобщенных координат).

Последовательность действий будет аналогичной. Заменим схват шаро­вым шарниром, помещенным в некоторую точку С рабочего пространства с координатами хс, Ус. zс. Получим пространственный механизм с двумя степенями свободы (вращение захвата относительно его продольной оси не учитываем). При движении этого механизма точка 3 будет двигаться по поверхности сферы радиусом /3 с центром в точке С. Задача определения © состоит в нахождении пространственного угла, образуемого множеством положений звена /3, допускаемых ограничениями q*.

Напомним, если игнорировать вращение захвата вокруг его оси вращения, то получим четыре комбинации решений, в каждой из которых необходима проверка удовлетворения корней ограничением q*. Специ­фика рассматриваемой кинематической структуры манипулятора и описанная выше методика задания положений захвата (координаты точки С и определяемая по ним таблица координат точки 3) позволяют с помощью простых геометрических соотношений найти решения обратной задачи.

По координатам точки 3 определяется угол qu образованный базовой плоскостью Р (в которой лежат плечо, локоть и запястье) с осью Y

Я = arctg (z3ly3).

Определим углы q2 и q3

q3=± arccos[(;y2 / cos2 q{) + x23 — /* — % ].

Чтобы найти q2 воспользуемся уравнением

y3 / cos = /, sin<72 +12 sin(^2 + <73),

из которого

sin<?2 = [ал ±-JCq(Сд + Bp — Д^)]у/(Bq + C02),

где = y3/cos^; Ba-lx+12 cos<73; C0 = l2 sing3.

Будем считать, что угол q2 может меняться в пределах — к/2 < q2 < к/2,

тогда получим два значения для q2, причем большему из них соответствует отрицательное значение q3.

Относительный поворот осей шарниров ЛиЗ будем измерять углом q5 между плоскостями Р и Q (последняя определяется точками JI, 3, С), отсчитываемым в направлении от плоскости Р к плоскости Q против часовой стрелки, если смотреть от точки 3 на точку Л. Найдем координаты точки Л:

хл = /, cosq2; ул = /, sing2 cos^,; гл = /, sin^2 — sing,.

Уравнение плоскости Р будет

А, дс + Вуу + CjZ + Dj = 0.

Здесь А і =0,В,= — sin<7,, Cj = cosqu Dx = 0.

Уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно плоскости Q, найдем, решив систему уравнений

А^Хд + В2ул + C2Zjj = О,

‘ ^2х3 ЩУз ^2Z3 =

^2 хс + В2Ус + C2Zc = 0.

Теперь

q5 = ±arccos(C2 cosqx — B2 sin+ B2 + C2 .

Обычно в манипуляторах ограничения на q5 симметричны. Поэтому знак <75 не имеет значения.

Величина сгибания в запястье q4 определяется как угол между век­торами ЛЗ и ЗС

q4=±arccos[(;tc — х3)(х3 — хл) + (ус-у3)(у3-ул) + +(zc-z3)(z3-zM)/l2lv Для определения знака qA воспользуемся соотношением

Хс = cosq2 +12 cos(q2 +q3) + l3 cosqA ■ cos(q2 + q3)~

-l3 sin q4 • cos q5 ■ sin(g2 + q3), (4.10)

которое получается из векторного уравнения

/j + /2 +13 — ПС.

Искомым будет значение q4, при котором соотношение (4.10) обращается в тождество.

Сравнив найденные значения углов с ограничениями q*, делаем вывод о реальности или нереальности конфигурации манипулятора при данном положении звена /3.

После этого изменим положение точки 3, оставив точку С на прежнем месте, и повторим все операции. Так определятся очертания пространст­венного угла в данной точке С, образуемого реальными положениями манипулятора.

По приведенному алгоритму была составлена программа и произведены расчеты полного коэффициента сервиса манипулятора. Просчитан ряд вариантов, в которых изменяли длины звеньев (табл. 4.1) и ограничения на углы относительного поворота звеньев (табл. 4.2).

Кроме полного коэффициента сервиса (©) подсчитывали следующие отношения:

— числа точек рабочего пространства, в которых схват может быть ориентирован в положительном направлении оси X, к общему числу точек

рабочего пространства (8,);

— числа точек, в которых схват может быть ориентирован в положи­тельном направлении оси Z, к общему числу точек рабочего пространства

(б2);

Варианты наборов длин звеньев манипулятора Длина звена Вариант I II III /і 98 88 108 h 83 93 73 h 25,5 25,5 25,5

Таблица 4.2

Варианты наборов ограничений по обобщенным координатам манипулятора Ограничение Вариант 1 2 3 * Яг +45° -90° +45° -90° ±90° * Яъ +135° 0° +135° 0° ±90° * Ял ±90° +150° -30° ±90° * Яъ ±90° ±90° ±90°

Результаты расчетов характеристик сервиса при различных наборах длин звеньев и ограничений по обобщенным координатам манипулятора Характеристика сервиса Вариант ограничения 1 2 3 Вариант длин звеньев I 0 0,569 0,701 0,403 §1 0,885 0,889 0,567 52 0,624 0,710 0,412 §12 0,546 0,608 0,241 Вариант длин звеньев II © 0,498 0,675 0,374 §1 0,844 0,820 0,567 §2 0,624 0,685 0,396 ^12 0,456 0,534 0,245 Вариант длин звеньев III © 0,628 0,726 0,414 §1 0,930 0,922 0,371 52 0,673 0,722 0,371 §12 0,618 0,649 0,371

— числа точек, в которых схват может быть ориентирован как в поло­жительном направлении оси X, так и в положительном направлении оси Z, к

общему числу точек рабочего пространства (812).

Данные оценки также относятся к характеристикам сервиса.

Для всех вариантов расчеты проводили для 245 точек, лежащих в плоскости симметрии рабочего пространства. В каждой точке просчитыва­ли 256 положений звена /3. В таблице 4.3 приведены результаты расчетов, соответствующие каждому из сочетаний вариантов таблиц 4.1 и 4.2. Видно, что наиболее выгоден вариант 2-ІП. Приведенный пример показывает, что оценка кинематических свойств манипулятора коэффициентом сервиса 0 позволяет легко выбрать наивыгоднейший вариант конструкции.