Приведенное доказательство существования решения обратной задачи в явном виде для рассматриваемого класса механизмов лежит в основе мето­дики вывода искомых уравнений. Методика включает следующие основные этапы.

1. Для заданной структуры в соответствии с условиями, приведенными в разделе 3.5, назначается индикаторная система координат и строится индикаторная матрица J, по которой определяется последовательность нахождения искомых зависимостей. На рис. 3.10, 3.11 и 3.13 эта последо­вательность указана римскими цифрами.

2. Уравнения, на существование которых указывают строки верхней полуматрицы J, могут быть получены следующими двумя способами.

а. По координатам центра некоторой г-й (в том числе и нулевой непод­вижной) системы координат в индикаторной системе координат. Для этого следует, с учетом условий назначения индикаторной системы координат, а также исходя из геометрических соображений, получить матрицу Мш пере­хода от индикаторной системы координат к і-й. Элементы правого столбца этой матрицы в соответствии со свойствами, перечисленными в разделе 3.8, будут зависеть только от обобщенных координат, указанных знаком * в соответствующих строках индикаторной матрицы J. Искомые уравнения можно получить, приравняв элементы четвертого столбца матрицы МИ1 значениям координат наблюдаемых точек механизма в подвижной индикаторной системе.

б. Получить в результате преобразовани исходного соотношения (3.14) уравнения для координат центра некоторой і-й системы, совпадающей с центром индикаторной. Эти уравнения не будут соответствовать индикаторной матрице J, поскольку индикаторная система совпадает с і-й только своим центром, но не ориентацией осей. Тем не менее получаемые уравнения путем преобразований могут быть сведены к виду, определяе­мому матрицей J.

3. Уравнения, на существование которых указывает вид нижней полуматрицы J, выводятся из (3.14) (см. раздел 3.8, свойство 5).

4. Для шести полученных расчетных соотношений строится граф воз­можных решений и выполняется его анализ.

В литературе [21, 22] приводится решение обратной задачи в явном виде для структуры 1-2_-3+ (см. рис. 3.10). Этой структуре соответствуют широко распространенные модели роботов — "Puma" фирмы "Unimation" (США), IRB-6 фирмы ASEA (Швеция), УЭМ (Россия, МВТУ им. Баумана). Изло­женную выше методику можно использовать для всех структур, представ­ленных на рис. 3.10, 3.11, 3.13. Для иллюстрации методики решения обрат­ной задачи в явном виде для схем с 3+ и 3“ ниже приведены два новых примера, соответствующих структурам 2+-1-3+ и 1 — 3+-2~. Последней структуре отвечает робот Т3 фирмы "Cincinati Milacron" (США).

Пример 1. На рис. 3.12,а представлена структура 2+-1-3+ с нанесенными промежуточными системами координат (назначены в соответствии с прави­лами, приведенными в разделе 3.5) и таблицей параметров: а, — кратчайшее расстояние между осями соседних пар, смещение центра і-й системы координат относительно (і-І)-й системы вдоль оси Z; параметр а, определен структурой скелета руки. При принятых системах координат и <?, = 0, і = 1,…, 6 конфигурация руки имеет вид, как на рис. 3.12,6. Необхо­димо найти выражения для расчета обобщенных координат по заданному в виде матрицы (3.13) положению захвата.

Решение. Как следует из индикаторной матрицы для данной структуры (см. рис. 3.10) вывод зависимостей должен производиться в такой последо­вательности: дъ, qb q2 — по координатам точки А в индикаторной системе в соответствии с пунктом 2 методики; q5, q4, q6-B соответствии со свойством 5 (см. раздел 3.8). Координата q3 является ключевой. Матрицы Мм„ входящие в соотношение (3.14), определяем с помощью таблицы 3.1:

		0	S]	0′		"с2	0	S2	а2С2		с3	0	s3	o’
М0,1 =	S, 0	0	~С1 0	0	> ^®1,2 —	^2	0	^2			s3	0	сз	0
1	0	0	1	0	0	» ^2,3 _	0	1	0	0
	0	0	0	1		0	0	0	і		0	0	0	1

с6	-s6	0	0
S6	С6	0	0
0	0	1	*6
0	0	0	1

О s4 0 —с4 1 О О О

О О

О s5 0 — с5 1 О О О

М3,4 =

> ^®4,5 “

; м5>6 =

Координата точки А в индикаторной системе определена четвертым столбцом матрицы М^1,,. Найдем элементы матрицы М0и. Поскольку центр В индикаторной системы совпадает с центром системы координат четвертого звена, то получив из (3.14) равенство MnpMjgM^ = М0 4, найдем элементы четвертого столбца матрицы М0и "44и = *пр-‘бС0Ср=*в, т%1=УпР-*б*ас£=Ув’ "*0» = Znp+*6Sp ~ZB- При определении направляющих косинусов М0и учитываются условия, специфичные для рассматриваемой структуры: ось Z всегда параллельна оси Z2 (третьи столбцы матриц М0и и М02 совпадают); оси Уи и Z] всегда пересекаются в точке с абсолютными координатами хк, ук, zk. В результате матрица Мо, и имеет вид (хк-хв)Пх — CjSj (Ук-УвУк —zB И о

Ув! 1л гв! А 0

—s, s

Ув

12

^0,и —

0

1

где

+ tl + 2 <2^4 sin^3, її = (** — хв)2 + (ук — ув)2+ (z* — zB)2, хк = — l sinqx /(t4 cosq3),

Ук ~ ~4 cos /(f4cos<?3);

zk = 0.

Тогда

хв І Іл У в IA zb IA (■xk-xB)H (Ук-Ув)/Іі ~zb/1i — UB{xk-xB) + yB(yk-yB)-z2B]lli

(хв + Ув ~^2вУ A

M-1 = 0,и

*eCiS2 + yBS, S2 ZB C2 1

SjS2 0

0

0

Искомые уравнения для расчета q3, qb q2 получим из четвертого столбца матрицы Мо’и с учетом условий х„>0 = — L,; уи 0 = 0, z„ 0 = 0 (координаты центра

абсолютной системы совпадают с точкой А):

Яз = arcsin[Og + уі + z — al -1 ) / 2^ J, (3.20)

Яі = arcsin|^(-f4*B с 3± — J-f* Сз + уд + Xg)/(4 + yJ)J, (3.21)

<?2 = arctg[zB /(jcb c, + уд s,)] = arctg|^±zB/^-t c+y +x2B^. (3.22)

При известных q^,q и q2 оставшиеся координаты q4, q5 и q6 получим из

(3.19) при 1 = 4

Я5 =arcc0s[s2s3sp-(c1c2s3-s1c3)cpca-(s1c2s3-c1c3)cpsaj, (3.23)

farcsin(c, s2cpca+ s1s2CpCa)/s5

I г Г (3

|arccos[(c, c2C3+s, s3) cpca+(s, c2c3 — с^з — с^з) CpSa — s2c3sp ] /s5,

arcsin[(s, c3 — CjCjSj ) (sysa + cYcacp) +

+(s1c2s3+c1c3)(s ca-c SaSp)-S2S3C Cp]/s5

Яб=і (3-25)

arccos[(c, c2s3 — s, c3) (cYsa — sYcaSp) —

-(SjCjSj + CjC3 ) (CyCe + STSaSp ) — s2s3sYCp ] /s5.

Для определения наборов решений, описывающих 8 возможных кон­фигураций механизма руки, следует провести анализ числа корней по каждой обобщенной координате. Для этой цели используют уравнения, применяемые для решения прямой задачи. В частности, для данного при­мера удобно использовать элементы четвертого столбца матрицы М0>4, определяющие координаты центра индикаторной системы

т0А =*4ClC2S3-*4SlC3 + a2ClC2 =ХВ»

24 (3.26)

т0,4 ~ ^4 SiC2S3 + CjC3 t4+ СІ2 SjC2 — Уд,

^*0,4 (^4 ®з"*" = ZB’ (3.27)

На рис 3.14 последовательность выполняемых этапов при анализе указана римскими цифрами, а получаемые наборы решений изображены соответствующими графами. Этап I предполагает вычисление двух зна­чений <7з по (3.20); оба решения могут быть реализованы механизмом. На этапе II по соотношению (3.27) вычисляют также два реализуемых решения q2. Здесь отметим, что для определения q2 можно использовать и уравнения (3.22), однако при этом получим лишние корни. На этапе III по формуле (3.21) вычисляются 8 значений qx четыре реализуемых из них находят по условию (3.26). Этап IV предполагает вычисление по (3.23) двух значений q5 (для каждого набора q3, q2 и ^,), оба реализуемы. На этапах V и VI рассчитывают по одному значению q4 и q6 по формулам (3.24) и (3.25) соответственно. Полученные 8 решений проверяют по ограничениям на углы поворота в кинематических парах, а из оставшихся вариантов выби­рают то решение, которое соответствует желаемой конфигурации.

ПІ

IV

VI

Рис. 3.14. Граф решения обратной задачи о положениях для структуры 2+-1-3+

Пример 2. Для иллюстрации методики решения обратной задачи для схем роботов, содержащих 3", рассмотрим структуру 1-3_-2+. На рис. 3.15,а приведено расположение локальных систем координат, на рис. 3.15,6- таблица параметров а„ а, и th описывающих размеры звеньев и распо­ложение осей пар, и конфигурация руки при всех qt — 0.

Решение. Как следует из индикаторной матрицы (см. рис. 3.11), вывод соотношений должен выполняться в такой последовательности: 1) для расчета qx — по координате х центра четвертой системы координат в абсо­лютной в соответствии с пунктом 2,6 методики; 2) для расчета (q2 + <?3 + <?4), q5, q6- в соответствии со свойством 5, см. раздел 3.8; 3) выделение сла­гаемых q2 и <7з из полученной суммы в соответствии со свойством 4, см. раздел 3.8.

Матрицы М, ,_ь входящие в соотношение (3.14), получим из табл. 3.1.

‘Cl	0	Si	а ci		"с2	— S2	0	Cl2 с2
S1 0	0 1	-с, 0	a, Sj 0	, М12 —	s2 0	с2 0	0 1	CI2 0
0	0	0	1		0	0	0	1
■с3	-8з	0	аъ с3		’с4	0	S4	а4 С4
s3 0	сз 0	0 1	а3 s3 0	. м34 =	s4 0	0 1	—с4 0	а4 S4 и
0	0	0	1		0	0	0	1

М01 =

І	1	2	3	4	5	6
<*/	п/2	0	0	тс/2	я/2	0
	«1	*2	а3	*4	0	0
и	0	0	0	*4	0	%

Рис. 3.15. Схема назначения систем координат в структуре 1-3 -2 (а) и "нулевая" конфи­гурация (<?,= О, i=l,6) руки (б)

	С5	0	S5	o’
	s5	0	^5	0
£ & II	0	1	0	0
	0	0	0	1

с6	-s6	0	0
s6	Сб	0	0
0	0	1	ч
0	0	0	1

м5б =

■і пр1ТА46*

Уравнение для вычисления qx получим из соотношения

м04=мГ1Лм;

ClC2+3+4	Si	ClS2+3+4	C1 (a4 C2+3+4 + ^3 C2+3 + ^2 C2 ) + U S1 + a c
SlC2+3+4	“ci	SlS2+3+4	Sj (a4 c2+3+4+Л3 c2+3 + ci2 C2 ) “ ^4 ci + d Sj
S2+3+4	0	C2+3+4	a4 S2+3+4 + a3 S2+3 + ^2 S2
0	0	0	1

Элементы четвертого столбца матрицы МпрМ4^ зависят только от па­раметров руки и программного задания

[MnpM^lu = ‘к сРса+ *пр = А,

[МпрМ^Х = — t6 cpsa+ упр = В,

[^прМ4б]з4 = t6 Sp + Z„p = D.

Из уравнений

m“=[MnpM^]14,

m04 = [MnpM46]24

и получим соотношение

Asj-Bc! =t4, (3.28)

откуда

Sl = (а*, ±у/в2 + A2 -1) j(B2 + A2). (3.29)

Углы q5, q6 и сумма (q2 + q$ + qd находятся из соотношения

M16=MolMnp)

где

*	*	S5C2+3+4	*
*	*	“C5S2+3+4	*
S5C6	"S5S6	C5	*
0	0	0	1

Соответствующие элементы матрицы М0}Мпр имеют вид

[Moi1Mnp]13=C1CpCa+S1CpSa,

= — Sp,

[М0іМПр]зі = —S^C^Sqj— SYCaSp) + Cj(c^ca+ S^SaSp), [M01Mnp]32 = SySa“ C^CaSp) — Cj(SYCa-CYSaSp), [М0ІМПР]33 =-SlCpCa-ClCpSa*

Рис. 3.16. Граф решения обратной задачи о положениях для структуры 1-3~-2+

Выражение для расчета q5 получим из уравнения

»*1« =LMoiIMnpJ33-

Оно имеет вид

с5 =cp(clSa-Slca)- (3.30)

Равенство соответствующих элементов третьих строк матрицы дает выражение для q6, а элементов третьих столбцов — для суммы (q2 + <?з + Яа)

с6 = [Sj (с sa — S CaSp ) + С! (с ca+s sas„)] /s5,

(3.31)

s6 = [sx(SySa + СYCaSp) + Cj(sYCa — CYSaSp)] /s5, c2+3+4 = cp(clca + sisa)^s5’

(3.32)

S2+3+4 "”Sp’C5*

Выделение слагаемых из суммы (q2 + <?з + #4) выполняется путем реше­ния системы линейных уравнений, полученной приравниванием элементов матриц

ты =[МпрМ^]24, т^=[МпрМ-*]34.

Откуда

аз с2+з+o2c2=[(5 + c1/4)/s1] — (а4 s2+3+4) = Е, (3 33)

Oj s2+3+ а2 s2 = (D — а4 s2+3+4) = F.

Решив систему (3.33), получим

с3 = (Е2 + F2 — а% — а2)/2а2а3, (3.34)

S2 — s3±

±«Je2o% s3-(a2 +2а2Оз с3+а%)[Е2 -(^Oj с3)2]/(а2 +2а2а3 с3+а3). (3.35)

Последовательность вычислений обобщенных координат и анализ воз­можных решений производят в соответствии с графом, представленным на рис. 3.16. На этапе I по уравнению (3.29) вычисляют 4 значения qx. Только два из них могут быть реализованы механизмом. Их выделяют при проверке соотношения (3.28). На этапе II по (3.30) вычисляют по два (для каждого <?i) реализуемых значения q5. На этапах III и IV рассчиты­вают соответственно по одному значению q6 — по формулам (3.31) и (q2 + <?3 + q4) — по формулам (3.32). На этапе V с помощью выражения (3.34) рассчитывают по два значения q2, только одно из которых может быть реализовано. Его выделяют при проверке системы (3.33) (этап VI). И, на­конец, на этапе VII, зная сумму углов (q2 + q3 + qA) и составляющие q2 и g3, элементарно вычисляют последнюю обобщенную координату q4. Получен­ные 8 наборов решений соответствуют возможным (без учета ограничений в шарнирах) конфигурациям руки робота.