Под числом N степеней свободы звена робота, в том числе и захвата, при движении относительно неподвижного основания будем понимать число возможных независимых простейших движений. Эти движения — суть три поступательных движения вдоль трех взаимно перпендикулярных осей и три вращательных движения вокруг них. Эти движения рассматриваются лишь как возможные для данного момента времени или конкретного положения, поэтому число независимых элементов вектора V мгновенных скоростей звена равно числу степеней свободы звена при движении относи­тельно основания.

Следует отметить, что число п степеней подвижности скелета руки мо­жет быть не равно числу N степеней свободы захвата при движении относительно основания. Например, если структура скелета содержит п кинематических пар с параллельными осями, то такой механизм имеет п степеней подвижности, а его исполнительный элемент-захват всегда пере­мещается в плоскости и имеет не более трех степеней свободы (п < 3). В общем случае при любом числе степеней подвижности руки и произвольном расположении осей кинематических пар число степеней свободы захвата N<6.

Как следует из определения, число п степеней подвижности скелета руки не зависит от ее конфигурации в каждый момент, в то время, как число N степеней свободы захвата может целочисленно изменяться в различных конфигурациях одной и той же руки. Вместе с тем между этими двумя важными характеристиками структуры руки существует тесная взаимосвязь: число N < 6 и не может быть больше числа п.

С целью создания наиболее простых конструкций при синтезе структуры руки всегда стремятся обеспечить требуемое число степеней свободы захвата за счет равного числа степеней подвижности скелета руки. Задачи синтеза структуры руки и исследования особенностей ее пространст­ва конфигураций требуют создания достаточно простого и эффективного метода определения числа степеней свободы захвата.

Формально текущее значение N можно получить при исследовании матрицы J частных передаточных отношений [5,11]

N = rank J.

Нас будут интересовать максимальное значение (Лгтах) числа степеней сво­боды исполнительного органа (как одна из важных характеристик струк­туры руки) в области возможных конфигураций руки, а также положения и семейства положений последней, в которых вследствие кинематических осо­бенностей структуры значение N уменьшается на 1,2,… В этих положениях не может быть задано (и отработано) произвольное движение рабочего органа, а также не все компоненты внешней нагрузки воспринимаются приводами. Поэтому положения или конфигурации скелета руки, в которых мгновенные значения N < N, пах, принято называть особыми [2, 6].

Матрицу J можно получить для любой конфигурации руки (для любой точки рабочего пространства робота). Если определитель матрицы не равен нулю, то в рассматриваемой точке рабочего пространства существуют все шесть возможных перемещений захвата, т. е. NmiX = 6. Если же определитель матрицы J равен нулю, то какие-либо степени свободы захвата из шести теряются или перестают быть независимыми. Определитель обращается в нуль вследствие того, что одна из строк (или столбцов) матрицы будет состоять из нулей или одна из строк (или столбцов) получается путем элементарных преобразований из другой строки (или столбца). Обращение определителя матрицы J в нуль является признаком наличия особой конфи­гурации механизма. Например, если в каком-либо положении руки оси двух ее кинематических пар совпадают, то матрица J будет содержать два одинаковых столбца, ее определитель станет равным нулю, и такое поло­жение механизма будет особым.

Трудности анализа структуры механизмов рук с помощью матрицы Якоби и вычисление определителя этой матрицы обусловлены сложностью и громоздкостью выражений ее элементов, получаемых либо дифферен­цированием матричного соотношения (3.1), либо с помощью уравнений

(3.6) —(3.8). Однако существует оригинальный методический прием, позво­ляющий выполнить структурный анализ руки робота, используя лишь информацию о нулевых или ненулевых элементах матрицы Якоби, и заклю­чение о равенстве нулю определителя матрицы делать без вычисления ее элементов, а только на основании расположения нулевых компонентов. Этот прием базируется на том факте, что ранг матрицы J не зависит от положения и ориентации подвижной системы координат, связанной с захватом, в то время как значения компонентов матрицы существенно от них зависят [17]. Это позволяет за счет рационального выбора положения и ориентации подвижной системы координат обратить многие из компонен­тов матрицы J в нуль и достаточно просто и наглядно выполнить струк­турный анализ скелета руки.

Движение захвата будем представлять абсолютными векторами посту­пательного движения полюса (точки приведения) и вращения вокруг него. Матрицу J получим как проекции этих векторов на оси некоторой назна­чаемой подвижной системы координат с центром в точке приведения. Эту систему координат в дальнейшем будем называть индикаторной [6]. Ее положение полностью определено обобщенными координатами механизма руки. Правила выбора индикаторной системы координат приведены ниже. Матрицу J относительно индикаторной системы координат будем выписы­вать с точностью до нулевых или ненулевых (обозначенных знаком *) элементов. Такую "бинаризованную" матрицу Якоби будем называть инди­каторной.

Из алгоритма определения элементов матрицы Jy, и соотношений (3.7) видно, что скорости V существенно зависят от координат точки приведения, т. е. от элементов т^4, к = 1, 2, 3. Ранг матрицы J не зависит от положения точки приведения, поэтому точку приведения будем выбирать в точке пересечения наибольшего числа осей кинематических пар (рис. 3.3,а). При этом получим максимальное число нулевых элементов в первых трех строках матрицы J, так как в выражениях (3.7) элементы (т^4

к=1, 2, 3, обратятся в нуль. В результате от любой j-й оси, проходящей через точку приведения, в матрице J получим столбец Jj= [О О О***]7.

Воспользовавшись условием, что направления осей индикаторной систе­мы координат также не влияют на ранг матрицы J, для упрощения выра­жений (3.6), (3.7) и (3.8) выберем ее ориентацию такой, чтобы элементы (к= 1, 2, 3) обратились в нуль. Для этого при наличии нескольких

параллельных осей пар в структуре (рис. 3.3,6) одну из осей индикаторной системы координат направим параллельно осям этих пар. Тогда по два направляющих косинуса каждой из этих осей станут равными нулю, а в j-м столбце матрицы J появятся три нулевых элемента, т. е. J, =

= [*о*о*ог.

Если оси нескольких кинематических пар лежат в одной плоскости (рис. 3.3,в), точку приведения целесообразно брать в этой плоскости, а ориентацию осей индикаторной системы координат выбрать такой, чтобы одна из координатных осей была перпендикулярна этой плоскости. Тогда каждая из осей вращательных кинематических пар, лежащая в этой плоскости, определит в матрице J столбец вида Jj = [*0 О 0**]г.

Таким образом, за счет удачного выбора точки приведения и ориента­ции осей индикаторной системы координат можно получить максимальное число нулевых элементов в индикаторной матрице J. Если при этом одна из

Рис. З3. Варианты расположения осей вращательных пар робота в пространстве и соответ­ствующие им столбцы индикаторных матриц

строк матрицы J полностью состоит из нулевых элементов, а следователь­но, матрица J вырождена, то механизм находится в особом положении. Признаком вырожденности матрицы является также наличие в ней блока размером [3×4], состоящего из нулевых элементов. Элементарными пре­образованиями [9] можно привести матрицу с нулевым блоком [3×4] к матрице с нулевым блоком [2×5], и далее к матрице с нулевым блоком [1 х 6], т. е. получить полную строку с нулевыми элементами.