Для задания ориентации звена в рассмотренных выше случаях исполь­зовали матрицу направляющих косинусов подвижной системы координат в неподвижной или наоборот. Девять элементов этой матрицы не являются независимыми. В механике для ориентации твердого тела и исследования его движений традиционно используют углы Эйлера, представляющие собой три независимых параметра, например, углы прецессии 0 < |/ < 2л, нутации 0 < Ф < к и чистого вращения 0 < <р < 2я.

Углы Эйлера |/, § и ф однозначно определяют ориентацию тела, за исключением случаев, когда ■& = 0 или ■& = к. Поэтому их можно применять для описания вращения лишь при указанных ограничениях [8].

Выражения для направляющих косинусов, полученные с использова­нием тригонометрических функций углов Эйлера имеют вид

Хп У 7

п п п

*0 C^Cy — —і— СфвуСф

Yo ^фСу+вфСуСф —:Бфву +СфСуСф —;ЗфСу

Z0 s>|/se С0

Здесь S<p, Sy, Sd — синусы соответствующих углов, а Сф, Cv, Сф — их косинусы.

С помощью этих формул всегда можно по полученным из матрицы М0п направляющим косинусам вычислить углы Эйлера и наоборот. Что касается скоростей, то, зная текущие значения углов Эйлера и положение

векторов мгновенных скоростей поворота ф, Ь, ф, легко получить сумму проекций этих векторов на координатные оси. В результате выявляются соотношения, связывающие угловые скорости Вх, 0у, 0г вокруг неподвижных координатных осей и скорости изменения углов Эйлера:

0Л = Ф cos j/ + ф sin ■ sin J/,

0y = Ф sin |r — ф sin cosy, (3.9)

0Z = ф + фсОвФ.

Разрешив эту систему относительно ф, Ф и ф, получим в принятой системе обозначений через элементы матрицы М06 следующие выражения для вычисления эйлеровых скоростей через угловые скорости относительно координатных осей:

V = “ !_^33)2 (®Хб + ).

* = —1TTIwW — V&. (3.10)

V* Vm06)

Ф = t _ (Л» )2 (в*”^+Q?"&3 )•

В выражении для д знак у корня всегда берется положительным. Значение не может быть равным 1, т. е. формулы (3.10) вырождаются, если 0 = 0 или д = тс. Таким образом, от принятого ранее вектора

V = [i,> t 0„ey, ejr

с помощью соотношений (3.10) при необходимости можно перейти к век­тору

V, = [х, у, Z, v, Ъ, ф]г. (3.11)

Известно несколько систем задания углов Эйлера, каждая из которых удобна для описания технических систем различного технологического назначения, в частности гироскопов, корабельных и авиационных систем. Выше была описана система углов Эйлера, традиционно используемая для описания гироскопов. Ее применение для задания положения и скорости при программировании движений промышленных роботов не всегда удобно вследствие геометрических особенностей обслуживаемого оборудования и технологической оснастки. Ниже описаны системы координат, рекомендуе­мые для определения фактического положения и ориентации захвата по qt или для программного задания его положения в пространстве.

Положение захвата определим, задав три координаты его характерной точки, например центра губок захвата, равноудаленного от их плоскостей (рис. 3.2,6). С этой точкой совместим полюс неподвижной относительно захвата системы координат, ось Zn которой, как определено выше (см. раз­дел 3.2), направим вдоль скелетной линии предыдущего звена, ось Yn — перпендикулярна рабочим плоскостям губок захвата, а ось Хп определяется требованием правой системы. Ориентацию введенной системы в абсолют­ной системе координат будем задавать тремя углами Эйлера: — углом

наведения (угол между проекцией единичного вектора гп на плоскость X0F0 абсолютной системы координат и осью Х0); (Зпр — углом подхода (угол между осью Z„ и плоскостью Х0У0); углом упр (угол чистого вращения вокруг оси ZJ. С традиционно используемыми углами jr, О и ср углы, введенные для захвата робота, связаны соотношениями

y = a„p-7t/2; д = — рпр-тї/2; (р = упр. (3.12)

Углы сХпр и YnP могут изменяться в пределах от 0 до 2я; угол |Зпр — в пределах ±я/2. Угол упр отсчитывается до оси Хп от линии, проведенной в плоскости XnY„ через полюс системы XnYnZn параллельно горизонтальной плоскости X0F0. При оц = Рпр = упр = 0 ось Z„ параллельна и совпадает по направлению с осью Х0, а ось Y„ направлена вертикально вниз. Отметим, что ось первого шарнира, как правило, вертикальна, и система Х0У02о совпадает с неподвижной системой, расположенной на оси первой кине­матической пары. Несовпадение одноименных осей 0-й и л-й систем координат при нулевых значениях а^,, рпр, упр обусловлено принятыми пра­вилами их назначения для звеньев робота (см. раздел 3.2).

Введенная система углов а^,, р^, упр позволяет легко определить про­граммное задание для робота при работе с объектами, установленными на горизонтальных или вертикальных поверхностях технологической оснастки или оборудования. Зная углы сХпр, Р„р, упр, требуемую матрицу Мщ, программ­ного задания можно получить в следующем виде:

CySflt sycasp	SySa CYCasp	Cp^a	*np
—~ SySaJ|j	SyCa —	cpsa	3ip
~SYCP	-CyCp	"SP	^np
0	0	0	1

Здесь символами сие обозначены cos и sin от аргументов ОпР, Рпр, упр,

указанных в индексе. Скорости а, р, у изменения углов можно вычислить по формулам (3.10) с учетом следующих соотношений:

<Ч=¥; РпР=-й Упр=Ф-