Первая проблема, с которой сталкиваются исследователи и разработчики роботов при их динамическом анализе связана с описанием динамической модели механической руки, поскольку аналитическая запись системы уравнений динамики пространственного механизма с 4-6 степенями подвижности чрезвычайно громоздка, не поддается аналитическому исследованию и на практике не всегда выполнима без ошибок [38]. Преодоление этой проблемы — в разработке методов машинного составления дифференциальных уравнений динамики механической руки.
При компьютерном составлении уравнений возможны два подхода. Первый заключается в получении аналитических выражений дифференциальных уравнений механизма. Для этого необходимы специальные программы и трансляторы [24, 40], позволяющие в кодированном виде осуществлять необходимые математические операции с аналитическими выражениями. В полученные таким образом выражения для коэффициентов при производных обобщенных координат и свободных членов остается только подставить численные значения параметров и использовать уравнения для решения различных задач динамики.
Второй подход — алгоритмический — состоит в том, чтобы, не выводя окончательные дифференциальные уравнения, на основе заданных значе-« ний параметров и начальных условий построить алгоритм расчета значений коэффициентов при старших производных обобщенных координат и членов уравнений динамики, не зависящих от старших производных. Необходимо, чтобы этот алгоритм расчета учитывал крайнюю нежелательность осуществления на компьютере численного дифференцирования каких-либо выражений. Этот подход широко распространен в робототехнике для машинного составления уравнений динамики.
В рамках второго подхода разработаны и успешно применяются алгоритмы, в основе которых лежат различные законы и принципы механики: второй закон Ньютона [25], принцип Даламбера [7, 31], принцип наименьшего принуждения Гаусса [6], уравнения Лагранжа второго рода [19] и др. Алгоритмически компактным и удобным для расчетов на ЭВМ является описанный ниже метод, основанный на процедуре составления уравнений Лагранжа второго рода, в котором для описания кинематических
связей многозвенного механизма используется система однородных координат (рис. 3.1) с матрицами размерности [4×4]. Этот метод [35,41,42]
был неоднократно применен [13, 14, 28, 29, 39] для моделирования динамики, анализа и синтеза систем управления манипуляционных роботов.
Модель механической руки робота представляет собой голономную систему с п степенями свободы (по числу степеней подвижности) и состоит из абсолютно жестких звеньев с известными инерционно-массовыми характеристиками, соединенных последовательно кинематическими парами пятого класса. Уравнения Лагранжа второго рода, которыми описываются такие системы [6], имеют вид
(rfOL/a^.)M)-OL/a9i) = a, *’ = СЯ (8.1)
где L = W — U — функция Лагранжа системы, W — кинетическая энергия системы, U — потенциальная энергия системы, Qt — обобщенные силы. Кинетическая энергия W модели равна сумме кинетических энергий W, звеньев
w=£w„ /=ЇЯ
і = 1
Кинетическая энергия объекта манипулирования представляет собой часть кинетической энергии п-го звена модели.
Пусть R;( = [*,,, yjt, zjiy 1]г — радиус-вектор некоторой точки і-го звена
(i = 1, nj в j-й системе координат. Тогда для элемента dmh расположенного в этой точке, выражение кинетической энергии можно записать так
d W, = 0,5 J R0i j dnij.
Согласно (3.1), R0, = М0Д„ М0, = M0,(q), R„ = const, следовательно,
d’Wi =0,5 (M0iRlV, M0iRu) dmt, (8.2)
где — скалярное произведение векторов а и Б.
Для скалярного произведения векторов а и Б, рассматриваемых как [1 х &]-матрицы, имеет место соотношение [4]
^a, S^ = arS = trC,
где С = аБг — квадратная [к х £]-матрица, a trC = tr|aSrj — сумма диагональных элементов квадратной матрицы С, называемая следом матрицы С. Поэтому соотношение (8.2) можно записать в виде
dW, = 0,5tr(M0lR, R lM^)dmit (8.3)
Полная кинетическая энергия і’-го звена (/ = 1, п) вычисляется интегрированием по его объему
W, = J d W, = 0,5 tr[M0i(J R, R,^m, )М0Г,.]. (8.4)
Матрицу H, = J RuR^/m, размерности [4 x 4] можно назвать матрицей инерции i-го звена. Элементы этой матрицы хорошо известны в механике [22]. Действительно, учитывая, что R„ = [дс„, уи, z„, і]Г, можно записать
J J УиХд&п, J ZuXgdm, J Xgdm,
|
н, = |
J хиУи^ті J yldmi J zuyudmi j yudmi
|
zndmi |
J XuZgdrnt yuZudrrii fz^dm,
J xudmi j УиМ J zudmi mi
где m, — масса /-го звена; подматрица [3×3] в верхнем левом углу представляет собой матрицу моментов инерции i-го звена: Ixi = Jxdmiy Iyi = Jydmit
hi = J zudmi ~ осевые моменты инерции звена; = Iyxi = Jxiiyiidmi,
Iai = = J x№zudmit Iyzi = Izyi = J zHyHdm — центробежные моменты инерции;
J xiidmi = nijXj, J y^dntj = тД, Jziidmi = mizi — статические моменты і-го
звена относительно /-й системы координат; R„ =[3с,, у,, z,, 1]г — радиус — вектор центра масс /-го звена.
Как видно, матрицы инерции Н, — симметрические, т. е. Hf =Н,. После подстановки в (8.4) матриц Н, для кинетической энергии всей модели можно записать
|
(8.5) |
W = 0,5£tr(M0iHI. M0r,.).
1 = 1
Потенциальная энергия U модели определяется формулой
1 = 1
где g — ускорение силы тяжести, <TZ = [0,0,1,0]г.
Прежде чем определить производные от функций W и U, необходимые для составления уравнений (8.1), покажем, каким образом трудоемкие
операции дифференцирования, например при определении М0,, заменяются операцией умножения матриц. Напомним, что матрица зависит
только от і-й обобщенной координаты qt. Она обладает следующим свойством
где при принятом (см. рис. 3.1) назначении систем координат ГО -1 0 01
|
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 |
|
D, = |
если і — я кинематическая пара вращательная,
если і — я кинематическая пара поступательная.
Из этого свойства следует
М;0(=ЭМ0(./Э^.=
|
(8.6) |
_ J М01М12 …М;_2 …МЛу+1 …М,._,.,,если;<1, /,; = Гп
[ 0, если j > і и далее
M*=Mh/dqk =
|
(8.7) |
Moi — м j-2j-i DyM;-w — М,.,,, если j = k<i 0, если j > і или к > і.
Формула (8.6) позволяет записать выражение М0, в виде
і і
j=і
1 = 1
откуда
|
Яflic • |
W = 0,5XXtrMo. H.(Mo.)7
|
С учетом формулы (8.7) можно определить выражение для производных от W и подставить их в (8.1). Так как имеет место соотношение tr(AHBr) = tr(BHAr), то dV/dqi=0,5^ X ГtrН,.(М*,)Г) + tr(м’Д.(]<)’) i — l j, k = V 1 V J |
і = 1 j, k = l
-Z t «(мхн, кЛ»а,
і — I j, k =
aw/a»,=o, 5 £ ija — (m’,h,(m!11)!’)+в (мі, н,(і<)г)] <j; =
=ZS “■ (м«ні (м»)г) ‘‘і’
i=lj=1
ddW dt d q
= ХЕШ"- (мйн,(мі,)г) + tr (м’,н,(1<)г)^,]+
i = lj= [к = І
+ tr (м^н,.(м’,.)г)^}=і і*(м’0і. Н,(м’,)г)^ +
+ Х X к (м£н,.(м’,.)г)+tr(м^.н,.(муг)]^, /=ЇЯ
і = I kt j = 1 J
Требуемые для уравнения Лагранжа (8.1) производные потенциальной энергии будут
эи/э^;=0,
Эи/Э^=г/а2,^т,.М()1.К,.,.у l = hn.
і— I
Таким образом, алгоритм расчета коэффициентов, в котором отсутствуют процедуры численного дифференцирования, приводит в соответствии с (8.1) к следующей записи уравнений Лагранжа:
і і *(м’0д.(м'(.)гЬ.+ х і *(m£h,(m{„),W-
і=1 7=1 ‘ ‘ і = lk, j = 1 ‘ ‘
-8(аг,±щМ‘ыК^ = а1, 1 = 1,..„п. (8.8)
Обобщенная сила Qh соответствующая обобщенной координате
qt (і = 1, п), равна сумме приведенных к обобщенной координате qt моментов
Qni приводов, внешних моментов QBh сил трения в механических передачах и сочленениях <Этр;
Qi= Qni + Qai + Qrpi-
Приведение моментов приводов и сил трения к системе координат рассмотрено выше (см. гл. 6).
Остановимся здесь лишь на алгоритме расчета приведенных к обобщенным координатам q внешних моментов от сил [14, 29], к которым можно отнести силы сопротивления внешней среды, нагрузку, приложенную к рабочему органу механической руки, и т. п. Введем в рассмотрение
четырехмерные векторы сил f = fx, fy, f2, о] в системе координат, связанной со стойкой механической руки. Пусть на элемент dmt /-го звена действует элемент силы d f(. Пусть <Шо,- виртуальное перемещение элемента dm,. Тогда выражение для элементарной работы силы df( на этом перемещении принимает вид
ЗА, = (rff„ dR0i) = (dt„ 5(M0(.R,.)> = (df., 6M0l. Rtf> = tr (dft Rl 6M0r(.) =
/ . .
R, v X(M0;)r§^ =ttrH R, V {M0i)T)b<lj-
= tr
|
j=1 |
j=1
Проинтегрировав полученное равенство по объему /-го звена и произведя суммирование интегралов по всем звеньям, найдем выражение для работы всех внешних сил, действующих на манипулятор,
8Ai=xj(^F^R4=xxtr[(jR^fiVo/)r]8^=
j = і = і у = і L J
= s(ztr[(JR,^r) (j = Щ.
Так как приведенные к обобщенным координатам силы QBl (/ = 1, и) опре-
п
деляются равенством 8 А = 22], ТО
/ = 1
|
4>. = (jR,.dfT)r = |
QBl = i tr[(jR„rffr)r(M/o,)r]-
|
X, idfxi J У„С, |
zudfxi dfxi |
||
|
1 » Н • |
• • |
zudfyi jdfyi |
|
|
xudf2i |
Уи#а |
Ziidfzi jdf2i |
|
|
0 0 0 0 |
|
По аналогии с матрицей моментов инерции /-го звена Н, определяется матрица сил, действующих на /-е звено [29], |
Тогда
|
(8.9) |
Полезно установить связь элементов матрицы Ф,- с главным вектором сил, проходящим через центр масс звена, и главным моментом сил, приложенных к звену. Для этого введем шестимерный вектор f/ = [/]’,…, /6′(] ,
первые три элемента которого являются проекциями главного вектора сил на оси системы координат, связанной с і-м звеном, а вторые три — проекциями главного момента на те же оси, а также аналогичный вектор
ff = [/,?,…, /б°] в системе координат, связанной со стойкой. Тогда, как показано в работе [29],
|
^ = 1г(ф, М0Г,(1>;)Г). fji = 1г(ф,(0;)Гмо;)> *- = 1,j = 1» •••> 6, где Dy — проектирующие матрицы:
|
Часто встречающаяся задача — приведение к обобщенным координатам нагрузки, действующей на рабочий орган механической руки, когда компоненты вектора f„° (или f") известны. Чтобы воспользоваться формулой (8.9), надо решить обратную задачу: определить компоненты матрицы Ф, по шестимерному вектору (или f"). Так как решение этой задачи неоднозначно, то можно удобным для исследователя способом задаться точками на последнем звене и заменить приложенными в них силами компоненты главного момента сил, действующих на звено.
В заключение заметим, что систему уравнений (8.8) можно коротко представить в виде
n(q,€)q + b(q, q,€)-QB = Qn, ‘ (8.10)
где П(q, |) — матрица-функция размерности пхп, b(q, q,|) — вектор-
функция размерности n, QB — вектор обобщенных внешних сил и сил трения в кинематических парах скелета руки, Q„- вектор приведенных к обобщенным координатам моментов приводов, | — вектор параметров руки.
Исходные данные — вектор параметров руки %, а также начальные условия q0 и q0 — позволяют с помощью описанного алгоритма рассчитывать
значения элементов матрицы II(q, %), векторов b(q, q, £) и QB. Чтобы по
явилась возможность наблюдать, например, поведение системы путем интегрирования полученных уравнений, не хватает информации о приведенных к обобщенным координатам моментах приводов. Под приводом понимается усилительно-преобразовательное устройство (УПУ), включающее двигатель и усилитель сигнала управления, кинематические передачи к звеньям исполнительного устройства и контуры обратных связей, охватывающие усилительно-преобразовательное устройство. Связь между вектором моментов на выходах УПУ (валах двигателей) и вектором приведенных к обобщенным координатам руки моментов приводов при абсолютно жестких элементах передач определена кинематикой руки, а именно матрицей частных передаточных отношений А (см. гл. 5).
Собственно моменты на выходах УПУ зависят от характеристик последнего, от вида и организации обратных связей, охватывающих УПУ, от программы движения и от нагрузки, которую с учетом приведения описывает левая часть уравнения (8.10). Из сказанного следует, что для анализа динамического поведения манипуляционной системы уравнения (8.8) (а соответственно и (8.10)) следует дополнить и уточнить с учетом свойств элементов привода звеньев механической руки.