Особенности математического описания привода рассмотрим на при­мере электропривода. Для исследования динамики механизмов с электро­приводом обычно [3, 10, 11] используют уравнения Лагранжа-Максвелла, которые имеют форму уравнений Лагранжа второго рода и позволяют автоматически получать не только уравнения движения механической части системы, но и связанные с ними уравнения электрической части. При составлении этих уравнений полагают, что состояние электромеханической системы описывается как обобщенными координатами механической части, так и обобщенными координатами, определяющими состояние электри­ческой части системы. За обобщенные электрические координаты прини­мают количества электричества. При этом производные по времени от обобщенных электрических координат дают обобщенные токи.

"Электрическая" составляющая в функции Лагранжа для механизмов с электроприводом совпадает с магнитной энергией системы

где г и s — индексы независимых электрических контуров (витков, обмоток), по которым протекают токи 1г и I,; Lrs при r*s — взаимная индуктивность, а при г = s — индуктивность. Обобщенная "электрическая" сила по j-й обоб­щенной электрической координате (правая часть соответствующего урав­нения Лагранжа) определяется как скалярная величина, равная коэффи­
циенту при вариации этой координаты в выражении работы 8АЭ электри­ческих сил

т

64 = 1 К-

7 = 1 г, s = 1

где т — число "электрических" обобщенных координат q3,Er s — ЭДС кон­тура, Rr s — электрическое сопротивление контура.

Рассмотрим сравнительно простой случай, имеющий, однако, практи­чески важное значение, когда в качестве УПУ используют электро­двигатель постоянного тока с независимым возбуждением и усилитель управляющего сигнала. Схема разомкнутого привода (без обратных связей) механизма с одной степенью подвижности приведена на рис. 8.1, а. С рото­ром двигателя, момент инерции которого /дв, через редуктор с передаточ­ным отношением і = y/q, связано ведомое звено механизма, момент инер­ции которого /зв = const, j/ — скорость ротора двигателя, q — скорость ведомого звена. На ведомое звено и ротор двигателя действуют моменты сопротивления. Для определенности моменты сил сухого трения: М’Тр = М sign q, М’хх = Мхх signxj/, = const, Afxx = const.

Обозначим индуктивности обмоток возбуждения и якоря соответ­ственно Lb и L„, взаимную индуктивность Z*я = L, B, токи в обмотках воз­буждения и якоря — /„ и /я. Тогда функция Лагранжа-Максвелла электро­механической системы будет

L = 0,5(l„Ib + L„I2 +2LbAI. +1зву2/і2 +Іда¥2)-

Ток 1в можно считать постоянным. Поэтому общее число независимых параметров в этой функции равно двум и уравнения Лагранжа-Максвелла для рассматриваемого примера примут вид

d OL / Э y)/dt — 8L / Эу = M’Tp/i + M’xx, dGL/SlJ/dt^U’-IA,

где ияиЯя — напряжение и сопротивление цепи якоря.

При дифференцировании функции Лагранжа-Максвелла L„ и Ц, можно считать постоянными, а взаимную индуктивность — зависящей от положения ротора, т. е. от у. После дифференцирования получим систему

уравнений динамики разомкнутого электропривода ведомого звена меха­низма в виде

(8.11)

(8.12)

Из первого уравнения этой системы следует, что момент, развиваемый двигателем, будет

Мдв=№вя/<*у)1в1я.

к >

их

и.

пр

п

Дв

■9-

Я
////.	‘/////
	Vі
—	ІЯ 2
	Яі
	3 In

5777777777*

V б

Рис. 8.1. Разомкнутый привод механизма с одной степенью подвижности (а) и вариант зам­кнутого привода степени подвижности робототехнической системы (б)

Б* а с

Если считать, что магнитный поток создается только катушкой возбуж­дения, то величина (dLm /d|/)1в пропорциональна магнитному потоку в воз­душном зазоре между ротором и статором двигателя. Следовательно,

Мяв=Ф*м1я, (8.13)

где Ф — поток возбуждения, Ки — коэффициент пропорциональности, харак­теризующий магнитную проводимость магнитопровода.

Сведем систему дифференциальных уравнений (8.11) к одному уравне­нию. Для этого с учетом (8.12), (8.13) выразим величину 1„ из первого уравнения системы (8.11):

1Я = [(/дв +1№ и2)у-К И + лс)]/фкм.

Это соотношение позволяет из второго уравнения (8.11) найти

dljdt = ЛЯ[(£/ЯФ*М/Яя)~ (/дв + /зв/і2) V +

+(м; / і + мх’х) — ф ад/ля]/ьяфкм.

Теперь после дифференцирования первого уравнения (8.11) по времени и подстановки в него значения dljdt получим одно дифференциальное уравнение привода второго порядка относительно jf = <одв

(І. / Ю [(/„в + V*2)g>„b — (КП + "»)] + (7ДВ + /,,2)®ДВ =

= ияФКм / R, = (ф2К2м / /?я)содв + (м;/0 + Мхх. (8.14)

В зависимости от соотношений коэффициентов в полученном урав­нении оно может описывать апериодический или колебательный тип дви­жения. В областях, близких к резонансу, возможно значительное повыше-

318
ние амплитуды колебаний. Этот эффект иногда наблюдается на очень высоких частотах (порядка 200-300 Гц) и его целесообразно использовать для снятия трения в опорах и передачах привода. Обычно рабочие режимы двигателей соответствуют дорезонансной области, поэтому при исследо­вании и в инженерных расчетах используют статическую характеристику двигателя, под которой понимается зависимость величины момента М№, развиваемого двигателем, от угловой скорости ротора содв. Статической ее называют потому, что определяют в установившихся движениях при содв = 0, т. е. без учета сил инерции.

Для установившегося движения сила тока 1я не меняется (dlldt = 0), она определяется вторым уравнением системы (8.11) с учетом (8.12) и (8.13)

1я=«/я-ФКмюдв)/Яя.

Подставив это выражение в (8.13), получим статическую характеристику двигателя

Мдв = Мп-^шдв, мп=фед,/ля, ^=ФХ2/^. (8.15)

где Мп — пусковой момент двигателя, Кх — коэффициент вязкого трения дви­гателя.

В практических руководствах и учебниках приводится несколько иное выражение коэффициента вязкого трения двигателя [21]

К — КеКмФ2 / Яя,

где Ке — коэффициент пропорциональности, характеризующий конструкцию двигателя. При этом для режимов торможения (sign содв Ф sign 1/я) мо­мент, развиваемый двигателем, считается равным пусковому [27].

Если использовать статическую характеристику двигателя (8.15), то динамику привода описывают только одним, а именно первым (механи­ческим) уравнением системы (8.11). При этом в него вместо Мю (см. (8.12)) вводят выражение статической характеристики двигателя (8.15)

(/дв + /зв/*2)х|> = м„ — Кху+м; п + мхх. (8.16)

Это уравнение, в отличие от более полного (8.14), является уравнением первого порядка относительно содв и относится к уравнениям, описывающим движение апериодического типа.

Для перехода от координат, связанных с валом двигателя, к координатам ведомого звена в уравнение (8.16) достаточно подставить |f = iq, jf = iq и умножить все члены уравнения на і

(ія/+Ізв)а + К^І2=Мпі + М^+М’ххі. (8.17)

Описание двигателя его статической характеристикой используют и при исследовании и расчетах робототехнических систем. Важно, что вследствие применения статических характеристик двигателей (8.15), входящих в со­став УПУ приводов звеньев механических рук роботов, при абсолютно

жестких кинематических передачах привода не происходит повышения порядка уравнений динамики механических рук (8.10). Вместе с тем, как следует из анализа уравнений динамики (8.16) или (8.17) механизма с электроприводом, учет свойств электропривода механической руки в этом случае, не меняя вида уравнения (8.10), приводит к изменению и кон­кретизации содержания его коэффициентов. Так, вместо II(q, £) получим

П(Ч, © = П(Ч, © + Ar[diag /дв(] A,

вместо b(q, q, © будем иметь

b(q, q,© = b(q, q, © + Ar[diag Kx,] Aq,

а к вектору QB обобщенных внешних сил, в который ранее (см. (8.8)) ад­дитивно могли входить моменты трения в кинематических парах руки — Мтр, sign q,, следует прибавить вектор моментов холостого хода двигателей

QB = QB — Ar[diag Мхх,] [sign Aq], I = 1,2,…, п.

Наконец, вектору Qn можно поставить в соответствие пусковые моменты двигателей, приведенные к координатам q

Q„=QH=ArMn

В приведенных выражениях А — [п х л]-матрица частных передаточных отношений передач механической руки; [diag /дв> J, [diag Khj, [diag Мхх>,] — диагональные [и х л]-матрицы моментов инерции двигателей, коэффициен­тов вязкого трения двигателей и моментов холостого хода двигателей соответственно; (sign Aq) — вектор направлений вращений роторов двигате­лей; М„ — [1 х и] — вектор пусковых моментов двигателей.

Итак, при абсолютно жестких кинематических передачах привода и с учетом статических характеристик двигателей постоянного тока уравнения динамики разомкнутого привода механической руки будут иметь вид

n(q,©q + b(q, q,©-QB=Qn. (8.18)

Для многих практически используемых конструкций ПР (например, для ТУР-10), имеющих длинные и податливые (см. гл. 6) кинематические цепи приводов, предположение об абсолютной жесткости кинематических пере­дач привода неприемлемо. Усложним динамическую модель привода — введем в нее матрицу жесткостей кинематических передач привода (см. гл. 6). Тогда динамическая модель разомкнутого привода механической руки ПР будет представлять собой систему с 2п степенями свободы, в кото­рой первые п инерционных элементов — звенья механической руки, а вторые п инерционных элементов — роторы двигателей — связаны упругими элементами в соответствии с матрицей жесткостей. Пусть в системе коор­динат |/ валов двигателей [п х л]-матрица жесткостей передач Су. Первую

группу п уравнений Лагранжа динамической модели составляют уравнения

(8.10) , в которых следует положить Qn, равным усилиям упругих элементов

Qn=ArCv[q„B-q],

где (]дВ — вектор приведенных к системе обобщенных координат q координат ф выходных валов двигателей.

Вторую группу п уравнений Лагранжа этой модели образуют уравнения вида (8.16), из которых исключены приведенные моменты инерции звеньев и моменты трения в кинематических парах скелета руки, но добавлены уси­лия упругих элементов

[diag /дв,] ф + [diag ] ф + С„, [ф — фр] +

+ [diag Мхх,] [sign ф] = (Мп)¥, 1 = 1,2,…, п,

где фр — относительные положения звеньев скелета руки, приведенные к координатам ф.

Перейдя к единой шкале координат, например к координатам q: ф = AqnB, окончательно получим следующую систему 2п уравнений:

n(q, £)q + b(q, q, £) — QB + ArCvA[q — q„B] = 0, (8.19)

Ar[diag I№ ,]Aq + AT[diag Kx,]AqflB + ATCvA[qAB — q] +

+ Ar[diag ;] (sign Aq„B) = (Mn),.

Разомкнутый привод звеньев механической руки, динамические урав­нения которого в зависимости от степени идеализации свойств его эле­ментов приведены выше (см. (8.10), или (8.18), или (8.19)), используют в основном в роботах с цикловым управлением.

В позиционных и контурных системах управления применяют привод, замкнутый по положению, по скорости и часто по току. Проблема органи­зации контуров обратных связей в замкнутом приводе звеньев, сопряженная с проблемой выбора законов регулирования, будет обсуждена ниже (см. гл. 10). Здесь же в качестве примера приведем уравнения замыкания при­вода для случая, когда каждый двигатель охвачен контурами отрицатель­ных обратных связей по положению и по скорости (рис. 8.1, б). Именно так организованы обратные связи в приводе робота ТУР-10. Если пренебречь инерционностью усилителей напряжения, питающих 1-й двигатель, и вели­чиной запаздывания сигнала в цепи обратной связи (это не всегда спра­ведливо для цифровой системы управления), то получим

= ^2,/[^3,/(Vnp, / — ¥/) — V/]=

= “ — ~ Vnp,/)> 11/я., |<

где К2/, Kv — коэффициенты усиления, |/пр./- программное значение ко­ординаты щ, £/„,,, тах — ограничение напряжения питания двигателя. Соглас­но (8.15) вместо этих соотношений можно записать

j =~^2,/¥/ — K2’tK31 (у, — Упр./),

K2l=<S>KJR9, 1 = 1,2,…, п.

При переходе к координатам q полученный вектор

[Mn l]w = — [diag *2,]ф — [diag K2JK3’M — фпр]

примет вид

[МПД = — Ar[diag К2′,Ачдв — Ar[diag K2JK3l] A[q„B — qnp]. (8.20)

При абсолютно жестких кинематических передачах ЦдВ = q. Суммируя урав­нения (8.19), после подстановки этого условия получим уравнение (8.18), в котором Qn = [Mn l]q и определено соотношением (8.20).

Таким образом, получены системы обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющие приступить к решению конкретных задач дина­мики манипуляционной системы. Заметим, что с самого начала была сдела­на попытка рассмотреть достаточно полную модель манипуляционной си­стемы с большим числом степеней подвижности, поэтому вывод выражений коэффициентов систем уравнений (8.10), (8.18), (8.19) был ориентирован на использование ЭВМ для их расчета. Естественно, что основным мето­дом анализа динамики рассматриваемых систем и синтеза подсистем управления при таком подходе является моделирование на ЭВМ [14, 25, 28, 29,31,35].

Мы не будем останавливаться на описании программ моделирования, приведенных во многих работах. Отметим лишь некоторые постановки задач динамики робототехнических систем, решение которых может быть получено с помощью ЭВМ.

Формулировки традиционных для теории машин и механизмов задач динамики [1] полностью распространяются и на робототехнические системы, а их решения зачастую являются базой для постановки и решения специфических задач динамики и управления роботами. Так, первая задача динамики — изучение воздействия внешних сил и сил инерции на звенья механизма, кинематические пары и опоры, а также установление способов снижения динамических нагрузок. Эту задачу называют силовым анализом механизмов. В приложении к роботам она ставится следующим образом:

задано требуемое движение системы qiTp = qiTp(t) (i = l, и), необходимо оп­ределить моменты приводов, величины динамических взаимовлияний по степеням подвижности робота, реакции в шарнирах и т. д.

Для системы, описываемой только уравнениями (8.10) или (8.19), данная задача решается подстановкой законов требуемого движения qirp(t), <7,тр(0

и qiTp(t), (і = 1, и) вместо <7,(f), qt(t) и <j,(f) в уравнения и не требует их

интегрирования. Эта же задача лишь незначительно усложняется, если в модели учитывается податливость кинематических передач. По заданному требуемому движению из первого матричного уравнения систем (8.19) определяется вектор упругих сил ArCvA[qTp-qnB], а следовательно, и вектор-функция qnB = qJlB(r). Продифференцировав дважды вектор-функ — цию С1дВ и подставив qBB и qBB во второе матричное уравнение системы

(8.19) , получим систему линейных алгебраических уравнений относительно пусковых моментов двигателей. Некоторые системы программного управ­ления роботами основаны на решении таких задач, зачастую в реальном времени.

Вторая задача динамики механизмов — изучение движения механизмов под действием заданных сил и установление способов, обеспечивающих заданные режимы движения — в робототехнике ставится так: задано управ­ляющее воздействие и начальное состояние системы, необходимо опреде­лить движение системы. Эта задача, столь простая по формулировке, имеет исключительно важное значение при анализе робототехнических систем и разработке принципов и систем управления ими.

Действительно, пусть имеется некоторая робототехническая система, описываемая, например, уравнениями (8.10) и (8.20), и задано ее начальное

состояние, а также выработана программа движений <7,пр(0 (/ = 1, п). Тогда,

анализируя решение второй задачи динамики, разработчик имеет возмож­ность судить о собственных частотах и степени устойчивости системы, качестве отработки программных движений, степени соответствия полу­чаемых движений желаемым и добиваться изменением варьируемых параметров (либо изменением структуры системы регулирования) требуемого качества движений.

Определение движения системы под действием заданных сил с помощью ЭВМ возможно путем численного интегрирования системы диф­ференциальных уравнений. Решение заключается в многократном выпол­нении цикла вычислений, в котором при заданных начальных обобщенных координатах и скоростях определяют ускорения и каким-либо способом экстраполируют новые значения обобщенных координат и скоростей для следующего момента времени.

Для интегрирования систем дифференциальных уравнений приведен­ного выше типа обычно используют стандартные методы численного интег­рирования, такие как метод Рунге-Кутта, Адамса-Мультона и др. Большинство из них рассчитано на представление системы дифферен­циальных уравнений в нормальной форме Коши, т. е. в виде системы диф­ференциальных уравнений первого порядка. С этой целью уравнения дина­мики привода, например (8.18), следует решать относительно старших про­изводных. Для этого необходимо умножить все члены уравнения на обратную матрицу инерционных коэффициентов (для системы (8.18)- на

П(ч,£)-1). Однако данная процедура увеличивает и без того довольно большие затраты машинного времени, обусловленные "пошагово-алгорит­мическим" способом составления уравнений динамики и итерационными процедурами их численного интегрирования.

Именно из-за больших затрат времени применение указанных вычисли­тельных процедур пока оправдано только на этапе предварительного ана­лиза робототехнических систем, либо на этапе предварительного планиро­вания их движений. Попытки непосредственного расчета управляющих воздействий в реальном времени, базирующиеся на решении второй задачи динамики, связаны с предварительным раскрытием выражений для: коэф­фициентов в (8.18) (или (8.10)) и представлением их в явном виде.

Это позволяет значительно ускорить расчет, особенно, если удается реализовать решение дифференциальных уравнений аналоговыми спосо­бами. О трудностях получения аналитических выражений для коэффи­циентов дифференциальных уравнений динамики рассматриваемых систем

упоминалось в начале главы. Как видим, для целого класса практически важных задач мы не получили приемлемого решения. Чувство неудов­летворенности вызывает также тот факт, что наша "подробная" модель

(8.19) и (8.20) далеко не полная. Мы не учли инерционно-массовые харак­теристики кинематических передач хотя бы до уровня "присоединения" [33] масс и моментов инерции элементов передач к массам и моментам инерции "крайних" элементов (звеньям руки и роторам двигателей). Мы не учли также динамического влияния быстровращающихся роторов двигателей на несущие звенья при установке двигателей на подвижных звеньях таким образом, что при движении последних меняются ориентации осей дви­гателей в пространстве [29] и т. д.

С учетом этих особенностей конкретных робототехнических систем еще более усложнится как сама модель, так и ее анализ, что приведет к уве­личению времени расчетов. Образование такого порочного круга говорит о необходимости поиска других подходов к задачам динамики и управления робототехническими системами.

Основным направлением в исследовании динамики манипуляторов и промышленных роботов, интенсивно развиваемым в настоящее время, является компьютерное моделирование разомкнутых кинематических цепей высокой размерности, оснащенных приводами.

Исследователи и проектировщики берут на вооружение методы и отла­женные программы определения траекторий движения звеньев цепи и ди­намических нагрузок на основные узлы. Однако комплексность объекта исследования делает недостаточным использование только этих методов и наличие известных возможностей для вычислений. Чтобы применять эти методы не вслепую, необходимо до начала вычислений по разработанным программам представлять, какими особенностями могут обладать движения звеньев, каково влияние тех или иных параметров роботов, учтенных и не учтенных при их моделировании на ЭВМ.

Понимание физической сущности рассматриваемых явлений, представ­ление об особенностях движений и влиянии параметров системы, помогаю­щие в решении основных задач динамики, может быть получено на осно­вании общих теорем или сравнения с "подходящей" модельной системой. Поэтому полезно иметь по возможности большее число качественно различных "модельных" систем, для которых решение получается доста­точно просто и может быть проанализировано в деталях.

Альтернативное указанному выше направление в исследовании и разра­ботке робототехнических систем связано с созданием упрощенных моделей, отражающих частные, возможно, специфические свойства механических рук, привода, систем регулирования. В результате анализа движения упрощенных моделей, поиска на этой основе физических закономерностей, свойственных той или иной манипуляционной системе, и формулируются принципы (концепции) построения манипуляционных систем с требуемыми динамическими свойствами.

Заметим также, что именно это направление приводит в рамках первой задачи динамики к установлению способов снижения динамических на­грузок, а в рамках второй задачи динамики — способов обеспечения задан­ных режимов движения.