Большинство манипуляторов хорошо моделируются упругими системами, состоящими из абсолютно жестких звеньев — стержней, соеди­ненных между собой шарнирами и упругими связями. Роль упругих связей играют рассмотренные выше податливые передачи и следящие приводы [19].

При работе манипуляторов в особых конфигурациях (см. гл. 3) и в по­ложениях, близких к ним, возникает ситуация, когда внешняя нагрузка (или ее компоненты) не воспринимается ни одним из приводов звеньев. Эта ситуация чревата осложнениями для системы, если невоспринимаемая нагрузка превысит критическую и под действием этой нагрузки будет скачком изменена конфигурация руки. Такие ситуации могут быть как крайне нежелательными, например, при непредвиденном упоре вытянутой исполнительной руки манипулятора, установленного на подвижном объекте, в препятствие, так и полезно используемыми, когда, наоборот, требуется ужесточить исполнительный механизм по отношению к из­вестной нагрузке, например при сборке. Во всех случаях при возникновении особых ситуаций желательно, во-первых, провести расчет манипулятора на устойчивость и определить критические нагрузки в этих положениях [3, 4] и, во-вторых, дополнительно оснастить исполнительную руку датчиками нагрузки, а все устройство — системой сигнализации, срабатывающей при приближении нагрузки к критической.

Заметим, что вопросы статической устойчивости играют важную роль при создании педипуляторов, а также механических копирующих мани­пуляторов и механизмов типа "экзоскелетон". Для последнего геомет­рические и статические параметры должны быть выбраны такими, чтобы остов механизма сохранял равновесное состояние при заданных значениях перегрузок.

Для описанной выше ситуации упора на вытянутую руку манипулятора, установленного на подвижном объекте, задача исследования статической устойчивости может быть сведена к исследованию устойчивости прямо­линейной формы равновесия упругой шарнирной цепи при шарнирно за­крепленном или свободном конце (рис. 6.14,а, б). К аналогичным цепям, но более коротким, сводится рассмотрение случаев упора на запястье при выпрямленном локте и упора на локоть.

На рис. 6.14,в приведена еще одна особая конфигурация, часто встре­чающаяся при работе копирующего манипулятора с шестью степенями

Р

б

Р

В

И

Рис. 6.14. Примеры особых конфигураций механической руки и соответствующих им нагрузок Р, не воспринимаемых двигателями а, б — прямолинейные конфигурации с кинематической связью, наложенной на перемещение рабочего органа, и без нее; в — непрямолинейная конфигурация

подвижности (см. гл. 3). В этой ситуации моменты силы Р относительно осей всех шарниров скелета руки равны нулю. Особая конфигурация характеризуется параллельностью осей второго, третьего и пятого шарниров и пересечением параллельной им силы Р с осью Х-Х первого шарнира.

Ниже мы определим критические нагрузки в моделях механической руки в особых конфигурациях, сходных с описанными выше. При этом, предполагая консервативный характер сил, действующих на механическую руку, будем использовать статический подход [12]. Применительно к упругим системам статический метод приводит к системе алгебраических линейных однородных уравнений, которые представляют собой условия равновесия относительно осей всех шарниров. Приравняв нулю опреде­литель этой системы, получим уравнение, корни которого соответствуют критическим нагрузкам. При расчете на устойчивость конкретных мани­пуляционных систем имеет значение, как выполнен привод звеньев и где установлены двигатели, а также, как эти факторы влияют на результат. Для простоты при описании примеров использования известного общего алгоритма будем рассматривать только системы с двигателями, установ­ленными в шарнирах руки.

Применив описанный общий алгоритм определения критической на­грузки к случаю плоской трехзвенной упругой шарнирной цепи, представ­ленной на рис. 6.14,6, получим кубическое уравнение [12] (жесткости упругих шарниров приняты одинаковыми)

РгЩj — P2c(IJ2 + 2Z,/3 +2l2l3) + Pc2(l{ + 212 +3/3)-c3 = 0.

Здесь Р — сила нагружения, /,, l2, h — длины звеньев; с — жесткость упругого шарнира.

Расчеты, проведенные для некоторых типов манипуляторов, показали, что критическая нагрузка может значительно превосходить номинальную грузоподъемность манипулятора.

Обобщим метод нахождения критических сил на случай вытянутой шарнирной упругой цепи, состоящей из л звеньев. Оси шарниров рас­положены в параллельных плоскостях и повернуты друг относительно друга на произвольный угол. Система находится под действием сжимающей силы Р, не меняющей своего направления при изменении конфигурации упругой шарнирной цепи (рис. 6.15,а).

Пронумеруем шарниры, начиная с шарнира, соединяющего цепь с ос­нованием. Звенья цепи пронумеруем в том же порядке, длины звеньев обоз­начим через lj (і = 1, л), а жесткость упругих шарниров — через с, (і = 1, л). Совместим ось X с осью первого шарнира, а угол между осью і-го шарнира и осью X обозначим через а,- (<Хі = 0).

Пусть система из начального положения равновесия перешла в смежное, весьма близкое равновесное состояние, характеризующееся углами qt Ф 0 между соседними стержнями, соединенными і-м шарниром. Учитывая малость отклонений, полагаем возможным пренебречь изменением координат z, центров шарниров и будем считать, что оси шарниров остаются параллельными плоскости ХОК Координаты центра 1-го шарнира в новом равновесном состоянии обозначим через дс, и yh а коор­динаты конца л-го стержня — через дси+і иу„+1.

Рассмотрим равновесие сил в і-м шарнире. Момент от силы Р отно­сительно оси этого шарнира будет

Qi = p[(xn+i ~ xi) sb а,- — (;уп+1 — у і ) cos а,- ]. (6.32)

Спроектировав горизонтальные проекции (і — 1)-го и і-го стержней на горизонтальный след плоскости, проходящей через i-й шарнир перпен­дикулярно оси последнего, определим qt следующим образом:

Яі = (ші)[(*,41 -*,)sina, +(;ум — у,) cos а,] +

+ (1 / /,_1) [(лг,-! — ЛГ,) sin ос, +(ум-У;) cos а(].

Следовательно, уравновешивающий момент пружины будет

Мі = сіЧ, (6.33)

Приравняв правые части выражений (6.32) и (6.33), получим

х,+і (с / ) sin a, — х-{с, [(1 / /, ) + (1 / /,_!>] — Р} sin a, + (с,. //,_[) sin a, —

— Уі+і(сі 1 k) cos a, + У і {с. [(!//,)+(1/k-x)] — /*} cos a,. — (с, / /,_і) cos a, =

=P(xn+i sin a, — yn+1 cos a, ). (6.34)

Нетрудно показать, что координаты центров шарниров в первом при­ближении связаны соотношением

Ум-У,- = (1, /1і-і)(У<-Уі-і)-СІ§а,[хм -(/,• і)-*,]- (6.35)

Условия соединения шарнирной цепи с основанием при принятой систе­ме обозначений (см. рис. 6.15,а) имеют вид

Уо = 0, у і = 0. (6.36)

Рис. 6.15. Различные структуры рук в особой прямолинейной конфигурации

а — с произвольным расположением осей шарниров; б — плоская кинематическая цепь; в — цепь с последовательно ортогональными осями шарниров; г — с двумя последовательными плоскими кинематическими цепями, развернутыми на п/2 относительно друг друга; на схемах а и б показаны конфигурации руки при отклонениях от прямолинейной

Выражения (6.34), (6.35) и (6.36) определяют для любой шарнирной цепи систему алгебраических однородных линейных уравнений. Определитель этой системы позволяет найти критические нагрузки.

Дальнейшее аналитическое исследование можно провести^ конкретизи­руя систему. Положим /[ = /2 = /3 = … = /, = … = 1п = / И С] = с2 = с3 = … = с, = … … = с„ = с. Рассмотрим некоторые частные случаи.

а. При а,- = 0 (і= 1, 2, 3, …, и) имеем плоскую шарнирную цепь

(рис. 6.15, б). Для нее вместо (6.34) получим следующее конечно-разностное уравнение:

(с/ОУІ+і -[(2с/0-Р]у,- + (с//)>>,._, = Руп+1.

Если из него вычесть аналогичное уравнение равновесия (г — 1)-го стержня, получим более простое однородное уравнение в конечных раз­ностях, описывающее равновесное состояние цепи

(с/1)уі+1 -[ЄсІІ)-Р]Уі +[(3c/l)-P]yi_l-(с/1)Уі_2=0, (6.37)

которое решается при граничных условиях

Уо = 0,у,=0, [{с/1)-Р]уя+1-[{2с/Г)-Р]уяНс/Г)уя.1= 0. (6.38)

Решение уравнения (6.37), как обычно, ищется в виде у{ = Р’. После

подстановки и некоторых тождественных преобразований получим следую­щее характеристическое уравнение:

(|3-1){(с//)р2- [(2с / 0 — Р] р + (с / /)} = 0, корнями которого являются

Pi=l. P2,3={[(2c//)-P]±^P[P-(4c/0]}(//2c). (6.39)

Общее решение однородного конечно-разностного уравнения имеет вид

У і = Cfi[ + С2Р2 + С3Р3, (6.40)

где С,, С2, С3 — постоянные, определяемые с помощью граничных условий (6.38)

Ci + C2 + C3 = 0,

С, + С2р2 + С3р3 = 0,

С2Рр2+1 + С3Рр"+1 = 0.

Эта система линейных уравнений относительно С,, С2 и С3 имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю (случай Р = 0 интереса не представляет)

1 1 1

1 Рг Рз ~ 0-

о РГ1 РГ1

Раскрыв определитель, получим характеристическое уравнение устойчивости

РГ1Р2+РГ1-Рз+1-РГ1Рз=0. (6.41)

Учитывая, что Р2Р3 = 1 и, следовательно,

(Р2-1)/(РЗ-1) = — Р2,

после преобразований получим вместо (6.41) р|”+1 = —1. Извлекая корни (2п+1)-й степени из обеих частей последнего равенства, найдем, что

Р2 = exp[jn(2k +1)/(2л +1)], к = 0,1,2 п; j — л/-ї,

или

(2 с/1)-Р + -^Р[Р-(Ас11)] = (2с/ /)[cos П(2к +1) /(2л +1) +

+j sin п(2к +1) /(2л +1)]. (6.42)

Приравняв действительные и мнимые составляющие обеих частей

равенства (6.42), получим

Р = (2c/7)[1-cos7E (2к + Щ2п + 1)]. (6.43)

Таким образом, найдено 2л+1 корней уравнения (6.41). Возникает вопрос, все ли полученные корни удовлетворяют виду решения конечно­разностного уравнения (6.40). Для ответа на него проведем такое исследо­вание.

Так как

Р2 = exp [nj(2k’ + 1) /(2 п +1)], где к’= 0,1,2,…, 2/1, то, используя условие (32Рз = 1» можем записать Рз =ехр[-7г/(2Г’ + 1)/(2л + 1)], к" = 0,1,2, …,2/г.

Далее, учитывая, что при мнимых показателях показательная функция — периодическая с периодом 2%, найдем те значения к’ и к", при которых получаются равные корни, т. е. р2 = р3:

к’ + к" = 2п.

Отсюда следует, если к’ и к" будут принимать значения 0, 1,2,…, (п — 1), то кратных значений Р не будет.

Согласно (6.43) минимальное значение критической силы будет Pmin=(2c//)[l-cos(n/(2/i + l))].

Отметим, что, осуществив предельный переход к системе с распреде­ленными параметрами и полагая с = ЕІЛ, nl = S, п—> получим известную формулу Эйлера для стержня, защемленного одним концом

Р = n2EI/4S2.

б. Рассмотрим упругую шарнирную цепь, состоящую из п звеньев (для определенности п — четное число), у которой оси шарниров повернуты последовательно друг относительно друга на я/2 (рис. 6.15, в), т. е.

ГО при і нечетном,

а — =•<

‘ [тс/2 при і четном.

В этом случае выражение (6.34) распадается на два независимых рекуррентных соотношения. Пусть і — нечетное число, тогда і-e, (і — 1)-е и (і — 2)-е соотношения будут иметь вид (как и раньше, жесткости и длины звеньев приняты одинаковыми)

(сП)ум-у1[(2с/1)-Р] + (с/1)у^=Руп+1,

(с /1) X; — [(2с /1) — Р] +(с/I) Х[_2 = Рхп+1, (6.44)

(с/1)у^-Уі_2[(.2с/і)-Р] + {с/і)Уі_3 =Руп+1.

Вычтем из первого соотношения третье. С учетом дополнительной зависимости

Ум =(Уі+2~Уі)/2,

получающейся из (6.35), найдем

(с/21)ум-У1[Ос/21)-Р] + у(_2[(Зс/21)-Р]-(с/21)у(_4=0.

Заменим для удобства проведения дальнейших выкладок последова­тельный ряд нечетных чисел в индексах натуральным рядом (р-1){(с/2/)р2-[(с//)-Р]р + (с/2/)}=0.

Таким образом, мы пришли к характеристическому уравнению, анало­гичному выведенному выше, но для цепи с вдвое более длинными звеньями и с вдвое меньшим числом звеньев. Минимальная критическая сила будет

(6.45)

Ртіп=(с//)[і-С08(я/(л + 1))].

в. Прежде чем перейти к определению минимальной критической силы путем анализа второго из соотношений (6.44) и сравнению ее с полученной в (6.45), рассмотрим еще один частный случай системы. Пусть имеется плоская упругая шарнирная цепочка из л звеньев. Длины первых (л- 1) звеньев одинаковы и равны I, а длина последнего л-го звена равна (х + 1)1. К рассмотрению такой схемы сводится как завершение анализа преды­дущего случая, так и анализ упругой шарнирной цепи, состоящей из т одинаковых звеньев, у которой оси л первых шарниров имеют угол а, = О (i = 1, 2,…, л), а оси остальных (т — л) = х шарниров — угол а,- = тс/2 (/’ = л+1, л+2,…, т) (рис. 6.15, г).

Исследование последней системы сводится к анализу двух более простых систем, первая из которых полностью совпадает с системой, рассмотренной в пункте а и имеет х звеньев. Вторая система отличается от рассмотренной в пункте а тем, что включает нестандартное последнее л-е звено длиной (х+1)/. Для такой системы справедливо уравнение в конечных разностях (6.37), описывающее равновесное состояние цепочки, однако при этом меняются граничные условия

Уо = 0, Уі = О,

[(с /1) — Р(х +1)] у„+1 — [(2с//) — Р(х +1)] уа + (с /1) = 0.

1 1

1

і)/(рг,+іИм/(>+*)-

Характеристический определитель принимает вид

р

Р

3

С

Рис. 6.16. Расчетная схема для определения критической нагрузки модели руки в непря­молинейной особой конфигурации (тонкими линиями показана исходная особая конфи­гурация)

l^pio’o

‘7777

|7777 1

Заметим, что х может быть целым и дробным, положительным и отрицательным. Положив х = -1/2, длину звена равной 21 и число звеньев N = п/2, найдем решение задачи для второго из соотношений (6.44)

Ртіп = (C/0[1 — COS(7t/n)].

Как видно, это критическая сила больше, чем определяемая выражением

(6.45).

В заключение кратко остановимся на результатах исследования устой­чивости еще одной особой конфигурации манипулятора. Рассмотрим равно­весие модели манипулятора, обладающего тремя степенями свободы (рис. 6.16), в положении, когда запястье 3 находится на оси ротации плеча, а сила, приложенная к запястью, перпендикулярна плоскости, образованной плечом /[ и предплечьем 12 (см. рис. 6.14, в). При малых возмущениях конфигурации модели сила не меняет ни величины, ни направления. Жесткости всех упругих шарниров принимаем одинаковыми и равными с.

При рассмотрении равновесия модели в деформированном состоянии с помощью матричных преобразований получим следующий характеристи­ческий определитель устойчивости:

-с

PL, cos+ PL2 cos(q3 — q2) PL^ cos(q3 — q2)

0

= 0,

0

-c

PLy cosq2 + PLз cos(<?3 — q2) PL^ cos(<?3 — q2)

приводящий к уравнению

P2[/2 cos2 q2 +2lxl2 cosq2 • cos(q3 — q2) + 2l cos2 (<73 — q2)]-c2 = 0. Отсюда находится значение критической силы

Р = с/ L*, L* = ^/2 cos2 q2 + 2/,/2 cosq2 • cos(q3 — q2) + 2l cos(q3 — q2).

Таким образом, критическая сила имеет минимальное значение, когда звенья вытянуты вдоль прямой в одну сторону, и увеличивается при умень­шении расстояния 03.

Отметим, что проблема статической устойчивости имеет особое значе­ние для многих типов робототехнических систем с управляемой дефор­мацией упругих элементов [31]. Зачастую устойчивость формы равновес­ного состояния не только в отдельных особых, но и в произвольных конфи­гурациях определяет работоспособность формул, используемых для управ­ления роботом.