Аттестация каждой из Ап погрешностей геометрических парамет­ров ПР возможна не всегда. Разделение погрешностей зависит от кинематической схемы скелета руки. "Неразделимую" совокупность гео­метрических погрешностей, определяемую только свойствами структуры скелета руки, будем называть структурным блоком геометрических по­грешностей.

Аналитический способ выявления таких блоков может быть построен с использованием метода "преобразованного механизма" [7]. В этом случае каждая частная линейная (Д/„ Да,) или угловая (Да* Aqni, і = 1,п) геометри­ческая погрешность манипулятора представляется соответственно в виде поступательной или вращательной кинематической пары.

"Преобразованный механизм" скелета руки робота содержит Ап сочле­нений и с учетом правил назначения систем декартовых координат звеньев руки робота (см. гл. 3) строится по следующим правилам.

Структура "преобразованного механизма" представляет собой последо­вательность из п кинематических групп, каждая из которых содержит две вращательные В и две поступательные П кинематические пары, и соответ­ствует последовательным поворотам и смещениям систем координат смеж­ных звеньев скелета руки при их совмещении.

В получаемой последовательности кинематических групп ВППВ оси одноименных кинематических пар, образующих сочетания ПП и ВВ, всегда пересекаются и перпендикулярны, а разноименные кинематические пары сочетаний ВП и ПВ всегда соосны. Из Ап кинематических пар "преобразо­ванного механизма" п пар (по одной в каждом блоке) соответствуют обоб­щенным координатам руки робота, а остальные 3п имеют лишь возмож­ность "разового" перемещения и фиксации, и определяют пространственное положение первых упомянутых п кинематических пар. Их относительное расположение определяется номинальными размерами qh а„ г„ a,{i = l, n) звеньев руки робота. Возможные перемещения Дqh Да,, Дг, и Да,

в парах "преобразованного механизма" соответствуют одноименным гео­метрическим погрешностям. Задача заключается в анализе преобразован­ного механизма на предмет выделения в нем структурных блоков неразделимых геометрических погрешностей.

Общим качественным свойством таких блоков является то, что по экспериментальному измерению невязки (наблюдаемого "дополнительного движения" рабочего органа ПР) возможно определить лишь некоторую суммарную геометрическую погрешность, но не ее распределение внутри блока. Поэтому величину суммарной геометрической погрешности можно приписать одному или нескольким из звеньев блока, а погрешности всех остальных считать равными нулю. На точности программной компенсации ошибок положения рабочего органа ПР эти условно-произвольные дейст­вия не скажутся. В зависимости от числа неразделимых погрешностей рас­сматриваемый блок будем называть одномерным, двумерным или трех­мерным.

Нетрудно убедиться в том, что если, например, оси двух и более враща­тельных пар "преобразованного механизма" совпадают друг с другом и это совпадение обеспечивается структурой механизма, а не мгновенной конфи­гурацией, то векторы "дополнительного движения" рабочего органа ПР, вызванного возможными смещениями Д<7, и Aq2 в этих парах, будут всегда параллельны. Никакими измерениями в рамках описанного выше метода аттестации и последующими вычислениями частные погрешности этих вращательных пар разделить невозможно. При любом числе вращательных пар "преобразованного механизма", входящих в блок, последний может

v v Схема "скелета" руки

Преобразованный механизм

г

Трехмерный

блок — Дь+ Дл„ +Д/, +Да,

геометрических 2 д2 Дз 3

погрешностей

Рис. 7.8. Структурные схемы преобразованных механизмов геометрических погрешностей

характеризоваться лишь одной ненулевой погрешностью. В этом случае мы имеем дело с одномерным структурным блоком геометрических погреш­ностей.

Практическим примером такого блока, характеризуемого угловой по­грешностью Aqz, является совокупность погрешностей Aqx и Aq2 в структуре скелета руки, содержащей соосную последовательность вращательной и поступательной кинематических пар. На рис. 7.8, а представлена рас­смотренная совокупность кинематических пар скелета руки и соответст­вующий восьмистепенной "преобразованный механизм".

Аналогично, параллельность (или совпадение) любого числа осей поступательных пар "преобразованного механизма", обусловленная также структурой, а не конфигурацией, приводит к блоку, характеризуемому

одной линейной погрешностью. Распределение погрешности внутри блока также произвольно. Примером такого блока являются совокупности по­грешностей Д/ді, Дt2 и Дг3, содержащиеся в уже рассмотренной нами соосной последовательности вращательной и поступательных пар (см. рис. 7.8, а).

Блок, характеризуемый только двумя неразделимыми погрешностями, образуется в "преобразованном механизме", когда оси более чем двух его поступательных пар не меняют своего относительного расположения и принадлежат одной плоскости. Блок с тремя неразделимыми погрешнос­тями образуется в преобразованном механизме, когда оси более трех пар не меняют своего пространственного положения (см. рис. 7.8, б).

Чаще всего блоки образуются частными погрешностями AqRh Да,, Д/, и Да, соседних сочленений манипулятора. Их эквивалентами для нашей задачи являются 8- и 12-степенные модели "преобразованных механизмов", свойства которых и необходимо анализировать. На рис. 7.9 приведены схема скелета руки с указанием систем координат звеньев для промышлен­ного робота ТУР-10К и модель "преобразованного механизма" геометри­ческих погрешностей.

Наличие в структуре преобразованного механизма трех параллельных поступательных пар (Д/2, Дї3 и Д tA) указывает на существование одномер­ного блока геометрических погрешностей. Попытка определения с по­мощью уравнений (7.8) или (7.16) всех элементов, входящих в этот блок, приведет к вырождению матрицы Фэ или Ф при любом числе эксперимен­тально определяемых независимых элементов матрицы М^. (В дальнейшем индекс "э" опущен в связи с идентичностью рассматриваемых свойств мат­риц ФэиФ.)

Достаточно простым и поэтому привлекательным является способ регистрации только координат центра наконечника измерительного инст­румента. В этом случае число уравнений (7.8) (соответственно (7.9) и (7.17)) уменьшится на три. Следует иметь в виду, что назначение геометрических параметров хп, уп, zn наконечника контрольного инструмента непо­средственно определяет принципиальную возможность (или невозмож­ность) аттестации погрешностей всех четырех геометрических параметров n-го звена руки.

Очевидно, что если наконечник контрольного инструмента лежит на оси вращения n-го звена руки, то никакими измерениями нельзя определить ошибку Aqm установки "нуля" датчика положения этого звена. Еще хуже дело обстоит, если координаты наконечника совпадают с центром системы координат и-го звена. В этом случае будет невозможно определить ошиб­ку Да„. Казалось бы, что, сместив наконечник относительно осей п-й декартовой системы координат (выбрав хп * 0, уп * 0, z„ * 0), мы сумеем избежать этих неприятностей. Однако, как будет показано ниже, и это предложение не приводит к успеху — нахождению всех четырех погрешно­стей: Aqm, Да„, Atn и Да„. Рассмотрим задачу аттестации всех геометрических параметров механизма с одной степенью подвижности (рис. 7.10).

Пусть на основании с возможностью перемещения относительно по­следнего установлено звено, геометрические параметры которого необ­ходимо аттестовать. Свяжем с основанием и с подвижным звеном правые системы декартовых координат. Положение одной системы координат

Рис. 7.9. Схема "скелета" руки промышленного робота ТУР-10К с системой координат звеньев (а) и с преобразованным механизмом геометрических погрешностей (б)

относительно другой определяют четыре параметра: q, ос, t, а. Пусть на зве­не также укреплен контрольный инструмент, координаты наконечника ко­торого в системе координат звена определяются вектором R„= [хп, yn, z„, 1]г. Будем считать, что положение наконечника измеряется в неподвижной системе координат. В этой же системе координат затем вычисляют невязку.

Рис. 7.10. Параметры контрольного инструмента (а) и варианты его рационального исполнения (б, в)

Выполнив необходимые для нашей задачи вычисления, получим систему линейных уравнений типа (7.11) в виде гДха)’ ‘-И, sin q(l) и2 cos 9(1) H3sin9(1) cos 9(i) O’ ЛУ(і) И, cos g(i) -H2sin9(1) -H3cos9(1) sin 9(i) 0 ‘Aq’ ^(i) 0 0 И2 0 1 Act Дх(2) -И, sin 9(2) —И2 cos 9(2) И3 sin 9(2) cos 9(2) 0 AS ’ ЛЛ2) И, cos 9(2) —И2 cos 9(2) —И3 COS 9(2) sin 9(2) 0 Aa 0 0 и2 0 1

где Их = хп+а; И2=уп cos а — z„sina; И3 = уп sin а + z„ cos а (нижний индекс

в скобках показывает номер конфигурации). Видно, что элементы третьей и шестой строк матрицы Ф не зависят от конфигурации и совпадают. Их наличие для рассматриваемого механизма приводит к вырождению матрицы ФГФ. Однако при аттестации систем си >1 совпадение этих четырех элементов не приводит к линейной зависимости строк и вырож­дению матрицы ФГФ. Определяющей будет линейная зависимость (или независимость) соответствующих столбцов этой матрицы, которая сохра­нится и при большей размерности задачи.

Умножим третий столбец матрицы Ф на И2 и сложим его с первым, а второй столбец разделим на И2 и вычтем его из четвертого. Затем четвертый столбец умножим на число И]И2/Из и вычтем его из первого.

Тогда первый столбец будет нулевым. Это является свидетельством вы­рождения матрицы и уменьшения ее ранга на единицу. Таким образом, чис­ло линейно независимых столбцов этой матрицы не превышает трех. Действительно, мы измеряем лишь пространственное положение точки, а не тела (подвижного звена) относительно основания. Для однозначного задания точки в системе координат основания достаточно трех параметров, а не четырех, как мы имеем.

Практическим выходом из такой ситуации является сознательное изменение в процессе эксперимента геометрических параметров х„, у„, z„ контрольного инструмента. Последующее составление уравнений (7.8) должно быть выполнено с учетом этих различий. Чтобы менять в процессе эксперимента геометрические параметры контрольного инструмента, необходимо выполнить его либо с возможностью тарированного изменения и фиксации длины щупа (рис. 7.10, б), либо в виде двух щупов, разнесенных, например, радиально (рис. 7.10, б).

В общем случае поиск закономерностей образования структурных блоков неразделимых геометрических погрешностей в многостепенных (-20-^24) "преобразованных механизмах" (см. рис. 7.9) — сложная задача. Вместе с тем понимание физической сущности задачи и характерного влия­ния блоков геометрических погрешностей позволяет во многих случаях применить другой описываемый ниже подход, связанный с "автоматиче­ской" фильтрацией матрицы Ф.

Наличие в схеме манипулятора структурного блока неразделимых гео­метрических погрешностей приводит к тому, что в матрице Ф системы уравнений (7.8) появляются линейно зависимые столбцы, соответствующие частным погрешностям, образующим блок. Ранг матрицы будет непол­ным — rank Ф < 4л, матрица ФГФ будет вырождена. Для нахождения реше­ния необходимо предварительно "разрядить" матрицу Ф — выделить из нее лишь линейно независимые столбцы, образующие подматрицу Ф. Отме­ченные выше свойства преобразованных механизмов позволяют упростить процедуру ее формирования.

Структура подматрицы Ф, определяемая числом и ^’номерами" соответ­ствующих линейно независимых столбцов матрицы Ф, зависит лишь от спо­соба аттестации номинальных геометрических параметров манипулятора и контрольного инструмента, но не зависит от величин перемещений в шарнирах руки. Поэтому формирование подматрицы Ф для каждого типа робота можно (и целесообразно) проводить до практического выполнения аттестации манипулятора, т. е. на этапе моделирования. Для этого, задав номинальные геометрические параметры а„ th а, и несколько произвольных конфигураций, определяемых наборами обобщенных коорди­нат #,0’= 1,л) из левых частей соотношений (7.7) или (7.14) формируют матрицу Ф. Отметим, что наиболее просто эти вычисления проводить по соотношению (7.7) в предположении полного совпадения системы коор­динат эталонного объекта с абсолютной системой координат робота (M0D = Е).

Составление программы поиска нулевых, одинаковых или пропорцио­нальных друг другу столбцов матрицы Ф трудностей не представляет. 10* 291

Следует, однако, иметь в виду, что выявление линейно независимых столб­цов системы большой размерности (~[4л х 4л], п = 5,6) проводится на ЭВМ,

имеющих конечную точность. Поэтому их число будет различным в зави­симости от вводимой оценки величины машинного нуля. В связи с этим процедуру выделения из матрицы Ф подматрицы Ф необходимо прово­дить, используя известные [9, 26, 29] вычислительные методы линейной алгебры.

Отметим, что невырожденности подматрицы Ф недостаточно для получения удовлетворительной точности решения. Точность существенно зависит от числа обусловленности матрицы Ф: cond Ф > 1. По смыслу число обусловленности характеризует множитель, на который неопределенность (неточность) задания правой части Д в (7.8) и элементов матрицы Ф умножается в процессе решения задачи [26, 29]. Если cond Ф > 1, то фактически матрица будет близка к вырожденной, и точ­ность получаемого решения будет низка. Определить нижнюю границу числа обусловленности можно из неравенства

cond ф г [I Д( ДГ) Ц/| (ДГ) |]/[Ц (ДД) 11/Ц (ДД) I],

где ДД — задается исследователем на этапе анализа свойств системы, Д(ДГ)

вычисляется как приращение вектора решения.

Известно [26], что обусловленность системы будет лучше, а вычисления менее чувствительны к изменениям параметров, если все ненулевые эле­менты матрицы Ф приблизительно одинаковы по модулю, либо вид мат­рицы Ф будет диагональным, или по крайней мере диагонально доминиру­ющим для ее любых к строк, где к — число столбцов матрицы

п

|®«|* і=^-

м

i*j

Первое требование выполнить в задаче аттестации сравнительно легко. Анализ показал, что в нашем случае элементы матрицы Ф существенно зависят от единиц измерения или масштаба величин геометрических пара­метров манипулятора. Угловые величины а, и qt входят в элементы матрицы Ф только под знаком тригонометричесих функций, поэтому их размерность не влияет на численные значения элементов матрицы Ф. Решающим является выбор единиц измерения линейных величин. Целе­сообразно за единицу длины принять величину, равную длине наибольшего из звеньев руки робота. Тогда все элементы матрицы Ф будут по абсо­лютной величине выровнены. Опыт показал, что во всех примерах модели­рования процессов аттестации различных структур ПР масштабирование всегда улучшало обусловленность системы (cond Ф уменьшалось почти на два порядка), и точность получаемого решения повышалась.

Выполнение второго требования — обеспечения диагонально-доминиру — ющего вида матрицы Ф — связано с планированием эксперимента и исполь­зованием свободы выбора конфигураций руки робота при аттестации. Кон­фигурации целесообразно назначать такими, чтобы для любых к строк матрицы Ф выполнялось последнее соотношение. Очевидная практическая рекомендация, направленная на увеличение разности элементов строк матрицы Ф, сводится к тому, что изменения обобщенных угловых коор­динат при переходе от одной конфигурации к другой должны быть по­рядка 10°.

Для повышения точности решения (7.9) линейной системы уравнений (7.8) целесообразно проводить итерационное улучшение решения. Сущность этой процедуры заключается в следующем.

Во-первых, как обычно, необходимо с помощью итераций уточнить решения (7.9) линейной системы уравнений (7.8) [26, 29]. Для этого по

невязке ед= Д-ФДГ из соотношений (7.9) вычисляют поправки Д(ДГ) к

оценкам решения

Д(ДГ) = ф+ед

и находят новые оценки ДГ := ДГ+ Д(ДГ), а затем процедуру повторяют. Эти итерации прекращают, когда элементы вектора невязки єд не пре­вышают заданной малой величины (например, для линейных величин єЗІ = = 1(Г3 мм) либо, когда число циклов превысило ограничения. Следует заме­тить, однако, что даже в тех случаях, когда каждый элемент вектора ед меньше є3,- при вычислении по формулам прямой задачи о положениях по оценкам реальных параметров манипулятора: qt + Дq{, а, + Да,, Г, + А?,-, а, + Да, невязка Д "искаженных" размеров эталона с аттестованными доста­точно велика. Для линейных величин она составляет порядка 1-2 мм.

Причина столь большой разницы в величинах невязки, определенных по линеаризованным формулам и формулам прямой задачи о положениях, связана с тем, что линеаризация проводилась в окрестности величин пара­метров, отличающихся от действительных значений корней исходной нели­нейной задачи. Поэтому целесообразно организовать наружный цикл итерации, в котором линеаризацию в каждом новом цикле будем проводить относительно значений, более близких к действительным.

После того, как найдены и по возможности итерационно уточнены

оценки решения ДГ, их суммируют с заданными номинальными геометри­ческими параметрами манипулятора и формируют матрицу Ф, а затем и подматрицу Ф относительно их "новых номинальных" значений: q,: = 9, + Д^ді, а,-: = а,- + Да,-, г,-: = г,- + Д?,-, а,: = а,- + Да,. Затем процедуру ре­шения системы (7.8) повторяют.

Отметим важную деталь процедуры. Структура матрицы Ф определя­ется в самом первом цикле по исходным номинальным параметрам мани­пулятора и сохраняется неизменной во всех последующих наружных циклах итераций. Итерации по наружному циклу проводят до тех пор, пока эле­менты вектора невязки "искаженных" геометрических размеров эталона с аттестованными не будут меньше заданной малой Величины (например, для

Начало

с

~г~

Ввод исходных данных: номинальных геометрических

параметров ПР___

Г — г, СХ|, //, £Z/, і — 1, /і}, контрольного инструмента — Хп, Yn, Zn эталонного объекта

К: = О

Вычисление невязки решения Єд = Д-ФАГ

Уточнение решения: Д(ДГ) = Ф% Д?: = ДГ + Д(ДГ)

Вычисление вектора невязки Д между рассчитанными геометрическими величинами и соответствующими аттестованными величинами эталона

Формирование матрицы Ф

К:=К+1

т

Выявление линейно независимых столбцов матрицы Ф, запоминание их номеров

Вычеркивание линейно зависимых столбцов матрицы Ф, формирование подматрицы Ф

Вычисление уточненных (реальных) геометрических параметров ПР

Г : = Г + А?

Т

Печать

j: = О

С

Конец

Нахождение оценок ДГ = {Д$д/, Да/, А?/, ДЗ/, / = 1, п) методом МНК ДГ = Ф+Д

Рис. 7.11. Блок-схема алгоритма вычисления реальных геометрических параметров мани­пулятора

линейных размеров Д3| = 10“3 мм). Во многих примерах моделирования процесса аттестации было достаточно одной-двух итераций по наружному циклу.