Практически во всех случаях устранение зазоров механических передач путем введения натяжных элементов и "замыкания" кинематических цепей привода существенно увеличивает потери на трение, поэтому возникает задача компенсации его влияния на точность робота [6, 27]. Известны попытки ее решения за счет введения в регулятор положения следящего привода второго канала, по которому подается управляющая величина, пропорциональная моменту трения в передачах [6]. При реализации такого корректирующего двухканального устройства в многосвязанном следящем приводе робота вычисление моментов трения, приведенных к валам двигателей, иногда затруднено. Дело в том, что в дифференциальных меха­низмах, какими часто являются передачи манипулятора, приведенные к валам двигателей силы трения зависят от внешней нагрузки и знаков линейных комбинаций обобщенных скоростей.

В работе [7] предложена методика расчета величин и знаков моментов трения для манипуляторов с п степенями подвижности, в том числе, с дифференциальной структурой передач. Полученные выражения стали основой для построения нелинейных регуляторов приводов манипуляторов, учитывающих взаимовлияние между приводами, обусловленное силами трения. Регуляторы работают по информации об обобщенных скоростях приводов робота.

Задача решается в квазистатической постановке: система нагружена постоянными обобщенными силами, скорости перемещения звеньев руки также постоянны. Правомочность такой постановки задачи в системах с натяжением определяется тем, что обычно силы натяжения превышают все другие силы [6,13].

Использованный в работе [7] и описанный ниже подход определения нагрузок на приводы с учетом сил трения по сути близок к методу последовательных приближений [5]. Сначала делают статический расчет механизма робота без учета сил трения, вычисляют реакции в элементах передач, трение в которых необходимо учесть. По ним и известным коэф­фициентам трения определяют силы трения в передачах. Затем эти силы приводят к обобщенным координатам скелета руки манипулятора и вклю­чают в число внешних сил, приложенных к звеньям. После этого усилия на приводах определяют еще раз уже с учетом сил трения.

Из-за сложности задачи рассмотрим сначала модельный пример: про­анализируем распределение сил трения в двухстепенном дифференциаль­ном механизме привода поворота и перемещения руки робота, представ­ленном на рис. 6.13, а. Здесь: Д1 и Д2 — двигатели; 7 и 2 — звенья скелета

руки; 3 и 4 — зубчатые рейки; звено 2 жестко связано с зубчатым колесом; 5 — вращательная кинематическая пара; qt и у, (і = 1, 2) — системы обобщенных координат; QHl — усилие упругого элемента натяжения; Мн, (і = 1,2)- усилия компенсирующих упругих элементов системы натяже­ния передач.

Рис. 6.13. Дифференциальный механизм привода поворота и перемещения руки робота (а) и структурно-функциональная схема регулятора его следящего привода (б)

Уравнения статики (6.3) позволяют привести к валам двигателей все обобщенные силы (в том числе и силы трения), заданные или определенные в системе обобщенных координат q. Вследствие линейности уравнений (6.3) приведение обобщенных сил можно осуществлять раздельно для аддитив­ных составляющих сил Q{. сил натяжения трения Qri и т. д.

Воспользуемся уравнением (6.3), во-первых, для определения уравно­вешивающих сил Мн1 и Ми2 при нагружении системы квазистатической об­общенной силой QHi натяжения, во-вторых, для определения дополни­тельных усилий Мт1 и Л/т2 двигателей, необходимых для преодоления трения в квазистатических режимах. Для рассматриваемого примера

‘1 *■	, A-J =	‘0,5 0,5
-1 — V		0,5/гд -0,5/гд_

где гд — радиус делительной окружности зубчатого колеса.

Следовательно,

м„г		‘0,5	-0,5/Гд-	Сні		0,5£?ні
М„2_		0,5	-0,5/гд_	О.		0,50,,.

Если это соотношение между силами £?н1, Мн1 и Мн2 упругих элементов системы натяжения удовлетворено и отсутствуют дополнительные внешние силы, тр, двигатели при движении преодолевают только силы трения.

Учтем в модельном примере только трение в шарнире 5. Заметим, что при известных коэффициентах трения kj (j = 1, т) в т шарнирах и радиусах

Г) цапф этих шарниров для вычисления моментов трения FTj необходимо сначала определить нормальные давления Nj в шарнирах как функцию

нагрузки, и относительные скорости Ру сочлененных звеньев как функции

обобщенных скоростей q или ф. Затем найденные моменты трения должны быть приведены к обобщенным координатам. В нашем примере эта процедура упрощается в связи с тем, что нормальное давление /V, в шарнире 5 равно IQ„il, относительная скорость элементов в шарнире 5

Pi = q2, а вектор Qx = [QTl, Qt2]t обобщенных сил трения, получаемых при­ведением FTl к обобщенным координатам, очевидно, имеет вид QT = [0, FTl]r. Таким образом, можно записать

FTl=-klQ„lrlsigaq2

и далее

мт1-		"0,5 0,5/Гд’	‘0 ‘		■0,5FTl/rA ■
МТ2_		0,5 -0,5/Гд	Л..		-0,5FTl/r

После подстановки в последнее соотношение выражения для FTl, а так­же sign q2 =sign(vj/1 — j/2) окончательно получим

Мт1 = -(0,5кх IQH11 / гд) sign(yj — ф2),

(6.28)

Мт2 = (0,5А:, I QHl I гх / гд)sign(y, — у2).

Проанализируем полученное решение. При различных знаках одно­именных программных скоростей jf,, у2 приводов и приведенных сил тре­ния Мт1, Мт2 будем считать, что соответствующий привод работает против сил трения и, наоборот, при одинаковых знаках — сила трения "помогает" приводу. Результаты анализа приведены в табл. 6.2.

Используя систему уравнений (6.28), нетрудно синтезировать регулятор, осуществляющий коррекцию сигналов управления приводами с учетом действия сил трения и обусловленным ими взаимовлиянием между приводами. Реализовать закон регулятора можно как программным путем, так и аппаратным. На рис. 6.13,6 представлена структурно-функциональная схема регулятора следящих приводов для рассматриваемого дифферен­циального механизма (см. рис. 6.13,а). Здесь К = Q,5kxQKXrxlra — множитель, Р — оператор дифференцирования; /- следящий привод по координате |f[,

Влияние сил трения на приводы при различных знаках и соотношениях их программных скоростей

№

Знак и соотношение скоростей приводов

Знак приведенных к приво­дам сил трения

Влияние сил трения на при­воды

I jfl I > I j/21

Vl=V2

Vi >0, у2>0 Vi <0, jf2 <0

Vi > Q> v 2 > Q Vi <0, jf2 <0

I Vi I > I j/21

Vi < 0, y2 > 0 Vi > 0, jf2 < 0

Мт і = MT2 = 0

MT < 0, MTj > 0 Мт і > 0, < о

Мт і > 0, < 0

MTl < 0, > 0

MTl > 0, Mt2 < 0 Мт і < 0, MT2 > 0

Реакций на приводы от сил трения нет

Первый привод работает против сил трения, второму они помогают

Второй привод работает против сил трения, первому они помогают

Оба привода работают про­тив сил трения

II — следящий привод по координате |/2; |/пр1, |/пр2- программные значения координат |fi и |/2. Видно, что для коррекции управляющих сигналов приво­дов необходимо измерять скорости j/j и j/2.

Рассмотренный пример позволяет предложить алгоритм определения и компенсации нагрузок от сил трения на индивидуальные приводы робота в общем случае.

Пусть задана кинематическая схема манипулятора с п степенями подвижности и механизмом натяжения, которая описывается матричным линейным уравнением (5.1). Коэффициенты трения в кинематических парах передач и силовые характеристики элементов натяжения считаются извест­ными, т. е. известны обобщенные силы QHi(i = l, n) в шарнирах руки от элементов натяжения. Нормальное давление в кинематических парах определяется реакциями в последних от сил натяжения, либо технологией сборки. Требуется найти n-мерный вектор Мт значений сил трения в системе координат ф индивидуальных приводов.

Чтобы учесть особенности структуры передач при квазистатическом анализе манипуляционной системы с учетом трения, требуется уточнить и расширить рассматриваемую кинематическую модель, описываемую урав­нением (5.1).

Для нахождения реакций в элементах передач, трение в которых учитывается в каждой кинематической цепи или ее участке, выбирают звено приведения. Оно представляется условно податливым элементом, вдоль которого направлена реакция. Введем две расширенные системы обобщенных координат у, и q^i = 1, L), L > п и найдем (L х ^-матрицу Якоби Al = [дуі/дц] взаимосвязи между ними

jf = Atq.

Первую расширенную систему обобщенных координат q образуют относительные углы поворота qi(i = , п) звеньев скелета руки робота и углы поворота <7,(i = n + l, L) элементов механических передач привода относительно звеньев скелета руки, на которых они шарнирно закреплены. Вторую систему координат у образуют программные углы поворота

|f, (І = 1, п) ВЫХОДОВ индивидуальных приводов И перемещения |fi(i = n +1, L)

условно податливых элементов механических передач, вдоль которых направлены реакции. Будем считать, что сжатию “податливых” элементов соответствует положительное направление осей у,(/ = п +1, L).

Чтобы определить относительные скорости перемещения элементов передач, образующих пары трения, введем дополнительно еще одну систему обобщенных координат |3,- (у = 1, т) — относительных перемещений элемен­тов механических передач, трение между которыми учитывается. Взаимо­связь между этой системой координат и координатами qt (і = 1, п) скелета руки описывается также вводимой дополнительно (т х п)-матрицей Якоби

ft = [Эр7/Э^]

(6.29)

Р= ftq.

Матрица частных передаточных отношений ft определяет внутреннюю структуру механических передач и все относительные скорости пере­мещений контактирующих элементов.

Использование введенных расширенных систем обобщенных координат ф, q, Э и матриц Аь ft частных передаточных отношений взаимосвязи между ними позволяет формализовать алгоритмы одновременного опреде­ления реакций и относительных скоростей в исследуемых кинематических парах и, следовательно, найти силы трения в подвижных соединениях механических передач приводов.

Определение сил трения, возникающих в кинематических парах при силовом замыкании механических передач ПР с помощью натяжного устройства, связано с нахождением усилий (реакций) в рассматриваемых кинематических парах. Уравнение статического равновесия

qh+a£mh=o,

связывающее силы натяжения QBi (в системе координат q) и обобщенные силы реакций М„, (в системе координат ф), позволяет решить эту задачу. В

частности, (ZwO-мерный вектор нагрузок Мн в исследуемых элементах

механических передач, исключая приводы, определяется как

вычеркиванием строк с номерами i = l, п и п столбцов с номерами j = L-n, L; Q„ — n-мерный вектор, элементы которого — обобщенные силы натяжения Qai, і = 1, п. Заметим, что подвектор QH образован из первых п

где

элементов L-мерного вектора QH, остальные (L — п) элементов которого заведомо равны нулю.

Абсолютные величины найденных из (6.30) усилий MHi(i = л+ 1, L) и бу­дут являться искомыми реакциями Nj(j = l, m) в каждой кинематической паре. Используя вычисленные из соотношения (6.29) относительные ско­рости элементов в исследуемых кинематических парах и найденные величины Nj, по известным [5] соотношениям для каждого вида подвижного соединения мы можем найти силы трения FTj(j = 1, т) в каждой из т кине­матических пар в координатах Р, определив тем самым вектор FT — вектор обобщенных сил в координатах р. Так, если записать известные радиусы rj цапф шарниров, результирующие нагрузки Nj и коэффициенты трения kj в них в виде диагональных (т х т)-матриц

г = diag(rb гг,…, rj,

N = diag(W„…,W2, k = diag(fcb *2,…, kj, to m-мерный вектор FT(q) сил трения в функции обобщенных скоростей qt выразится как

FT(q) = -krN[signp(q)],

где [signP(q)] = [sign(ft, q), sign(l^q),…,sign(ftmq)]r, Slj — j-я строка мат­рицы SI из (6.29), т. е. как m-мерный вектор знаков относительных скоростей элементов в исследуемых кинематических парах механических передач.

Последовательно используя преобразования (6.29) и (5.1), определим вектор FT(iji) в функции скоростей приводов

FT(^) = -krN[sign|i(«ji)],

где [signp(«j/>] = [sign^flA-1]!»!#), sign([flA-1]2«i#) sign([ftA_1]m»ji)] —

m-мерный вектор знаков относительных скоростей элементов в исследуемых кинематических парах в функции программных скоростей ф, [ЛА_1]у — j-я строка матрицы [ПА-1].

Уравнение статики QT = ftrFT, связывающее обобщенные силы трения QT (элементы n-мерного вектора QT) в системе координат q и обобщенные силы трения FTj (элементы /л-мерного вектора FT) в системе координат Р, позволяет определить искомые силы трения Л/Т,<г = 1, п,), приведенные к системе координат ф приводов в функции скоростей ф.

М^ІА^ІІ^дф). (6.31)

Таким образом, предлагаемый алгоритм позволяет получить необхо­димые данные по распределению нагрузок на приводы от сил трения, обус­ловленных натяжением передач манипулятора или любыми другими обоб­щенными силами Qh і = 1, п.

Найденные выражения для нагрузок от сил сухого трения, прихо­дящихся на каждый привод, необходимы при конструировании нелинейного регулятора положения, снабженного дополнительным каналом, компенси­рующим влияние трения и позволяющим повысить точность позициони­рования ПР. Структура его дополнительного канала определена зависи­мостями (6.31).