Наиболее удобный в методическом и вычислительном аспектах способ расчета ошибок положения звеньев механической руки с упругими пере­дачами привода при воздействии нагрузки основан на определении и последующем использовании матрицы единичных податливостей.

Задача определения матриц единичных податливостей механической руки с упругими передачами привода ставится таким образом: заданы кинематическая схема механической руки с п степенями свободы, передачи привода которой при абсолютно жестких элементах описываются матрич­ным линейным уравнением (5.1), и жесткостные характеристики, например податливости fk(k =1,2,…, L) двигателей (к = 1, 2,…, п) и элементов передач (к = п + 1, п + 2,…, L) модели, представленной на рис. 5.17, а. Требуется найти матрицу единичных податливостей в системе обобщенных координат q механической руки.

Общий алгоритм решения этой задачи [10] заключается в поочередном нагружении скелета механической руки единичными статическими обоб­щенными силами Q’j(j = 1,2,…,л) при фиксированных задающих элементах

приводов (|/, = const, і = 1, п) и определении изменений компонент вектора

обобщенных координат q. Обозначив через fj(i, j = 1, п) величину обоб­щенного перемещения Aqt при j-м нагружении, запишем искомую матрицу единичных податливостей в виде

	/п	/і2 •’	• fin
F =	/21	/22 *	•• fin
	Jnl	fnl •	•• fnn.

Таким образом, алгоритм предполагает поочередное заполнение столб­цов матрицы F. Для расчета элементов j-то столбца необходимо сначала по заданным обобщенным силам Q. определить нагрузки в податливых звеньях передач, затем деформации этих звеньев, а по ним — прираще­ния обобщенных координат qfj. = 1, п). Как видим, в основе проце­дуры лежит решение задачи статики для модели, приведенной на рис. 5.17, а, описываемой расширенными системами координат q и |/ раз­мерности L.

Уравнение статического равновесия этой модели согласно (6.3) и (6.4) в рассматриваемой постановке можно записать в виде

Q + [A/fM = 0. (6.20)

Оно позволяет определить п реакций приводов Мк(к = 1, п) и (L-n) нагрузок Мк(к = п +1, L-n) в податливых элементах привода при после­довательном нагружении системы первыми п единичными статическими силами Qj, векторы-столбцы которых имеют размерность L> п

Q, = [1,0,…, OF, Q2 = [0,1,0,…, 0Г… Q„ = [0,0,…, 1,0,…, 0F.

В результате получим матрицу [mkj] размерности [Lxn] уравновешивающих нагрузок, столбцы которой суть векторы

Mj = -[[Afr-‘Qj 0’=1.2,…,л).

Деформации звеньев, соответствующие изменениям обобщенных координат t|f, равны произведениям уравновешивающих нагрузок mkj на еди­ничные податливости^ п двигателей и (L-n) звеньев. Если податливость двигателей не учитывается, то первые п элементов вектора^(к = 1, L) будут равны нулю.

Таким образом, матрица-столбец изменения обобщенных координат iji при действии единичной обобщенной СИЛЫ Qj имеет вид

[ДХ|fkj] = [fkmkj] 0‘ = 1,2,…,и). (6.21)

Теперь для определения расширенной [L х п]-матрицы [/*,] единичных по­датливостей воспользуемся соотношением (5.34) и для каждого столбца (6.21) получим столбец матрицы fkj]

[Л,] = -[А/Г1[Ах|/іу].

Выделим в матрице [/*,] размерности [Lxn] верхний блок размером [и х и]. Тогда, учитывая принятую последовательность определения [ЭД, ста­новится очевидным, что этот блок и есть искомая матрица единичных по­датливостей F.

Описанный алгоритм построения матрицы единичных податливостей F, основанный на параллельном учете всех податливостей элементов передач, удобен для численных расчетов на ЭВМ. При этом для упрощения програм­мы вычислений целесообразно свести единичные статические силы Q,- в расширенной системе координат в единичную матрицу Е размерности

[L x L]. Тогда расширенная матрица уравновешивающих нагрузок будет

М = -[[А/]гГ1Е = -[[А/]гГ1. (6.22)

Коэффициенты единичных податливостей fk элементов привода запи­шем в виде диагональной матрицы diag (/і, и найдем [L х LJ-мат-

рицу изменений координат |/ при последовательном нагружении руки еди­ничными обобщенными силами в системе координат q

Ду = diag(/[, /2,.. •, /L )М. (6.23)

Подставив (6.22) и (6.23) в уравнение (5.34), получим расширенную [Lx L]- матрицу единичных податливостей в системе координат q

F = [A/r1diag(/1,/2,…,/L)[[A/]rr1, (6.24)

верхний левый [и х и] блок, которой и есть искомая матрица F единичных податливостей.

Для получения аналитических выражений для коэффициентов матрицы

F изложенный метод обладает тем недостатком, что повышение ранга мат­рицы А? ведет к существенному увеличению трудоемкости матричных пре­образований. С учетом линейности рассматриваемой статической модели передач привода механической руки (следовательно, возможности исполь­зования принципа суперпозиции решений) можно в этих случаях исполь­зовать метод определения матриц единичных податливостей ряда пар­циальных моделей системы, в каждой из которых содержится немного податливых элементов. Нежесткость каждого из податливых элементов системы учитывается лишь в одной парциальной модели. Таким образом, если число парциальных моделей jx, а матрицы единичных податливостей

этих моделей Fj(s = 1, (і), то

f = ]Tf,

5 = 1

Аналитические выражения коэффициентов матрицы F единичных

податливостей (или обратной ей матрицы С = F-1 упругих коэффициентов) нужны для оценки характеристик жесткости передач привода различной кинематической структуры и влияния этих характеристик на точность позиционирования, а также устойчивость систем регулирования роботов. Для семи моделей, построенных на основе кинематических структур с двумя степенями подвижности (см. рис. 5.2,а, г, д, е, как с механизмами развязки (МК), так и без них), аналитические выражения для коэффициентов матриц

F и С приведены в табл. 6.1.

Покажем, как используют парциальные модели для определения ана­литических выражений для коэффициентов матрицы F на примере типовой модели механических передач привода руки, кинематическая схема которых соответствует табл. 6.1, v = 2. Кинематическая модель (см, рис. 5.2,д), как

отмечалось выше, имеет две степени свободы (п = 2), а учесть требуется податливость четырех элементов кинематической цепи (/ьЛ./з. Л)- В этом случае можно построить две парциальные модели (|1 = 2), в каждой из которых учитывается только податливость двух элементов. Такими парциальными моделями могут быть типовые модели соответствующие v = = 1 и 5 (см. табл. 6.1). Переобозначим податливости элементов кинемати­ческих цепей ТИПОВОЙ модели V = 1, Т. е. введем /з вместо /і и/4 и вместо/2, и с

помощью (6.24) определим парциальные матрицы F, и F2

-і

т

-і

1 O’ О 1

1 о’ О 1

/з О О U

Fi =

т

-1

1 o’ 1 1

1 O’ 1 1

/і О Р /2J

f2 =

Уз О О Л. /і -/l -/і /і+Л.

Суперпозиция этих матриц дает

/і f +Л+Л.

7,+/3

f=f,+f2 =

В заключение сделаем несколько важных замечаний. Так как нами рас­сматривались внутренние статические свойства системы механических пе­редач робота в линейной постановке, в которой имеет смысл искать мат­рицы F и С, то, естественно, эти матрицы являются симметричными с по­стоянными коэффициентами. С помощью этих матриц при известной

внешней нагрузке Q находят деформации конфигурации руки Aq = FQ.

По отношению к внутренним статическим свойствам моделей также может идти речь о статической развязке. Очевидно, статически развязанной

системе соответствует диагональный вид матриц F и С, и тогда компоненты нагрузки по одной обобщенной координате не вызывают деформации конфигурации руки по другим обобщенным координатам. При этом задача поиска статически развязанных систем может ставиться двояко. Во-первых, иногда существует возможность путем выбора значений упругих характеристик элементов матрицы получить диагональный вид

матрицы F. Например, для типовой модели при v = 6 (см. табл. 6.1), выбрав

h =/i> получим диагональный вид матриц F и С. Эта развязка достигается выбором параметров. Можно, однако, поставить задачу по-другому: найти такую систему обобщенных координат, чтобы в ней матрицы подат­ливостей и квазиупругих коэффициентов были диагональными.

Очевидное решение этой задачи для систем передач, не содержащих механизмы кинематической развязки, — это система координат у, т. е. углов поворота валов двигателей. Действительно, при фиксированной конфигура­ции скелета руки (<7, = const, і = 1, п) каждая из п кинематических цепей привода от і-го двигателя до звена скелета руки представляет собой

Кинематические схемы моделей, их характеристики, матрицы единичных податливостей и квазиупругих коэффициентов

Кинематические характе­ристики модели

"1 0"			7і	0"
0 1			0	/2.

Ai =

Fy-Матрицы единичной податливости

‘(fi+fs) “Л -/і ОІ+/2+/4)

А2 = Г1 о’ Ар_ 11 (рис. 5.2,д)

А3 = А! Г1 0 ‘ А„ = .-1 1. (рис. 5.2,г)

(1/4)

■(Л+/2) + 4/з (fi “/1) (/2-/і) (/і+/2) + 4/4

■(/і+/з) /і /і (/і + /2 + /4)_

А4 = Aj Гі о ‘ А0 = -1 1 (рис. 5.2,е)

А5 = (рис. 5.2,д)

‘1 0"			‘/і	-/і ‘
0 1			-/і	/і + Л_

1 1′ -1 1

/1+/2 /2 “/і /2 "/і /і+/2.

Аа =

(1/4)

(рис. 5.2,г)

■ 1 0"			7і	/і
-1 1_			/і	/і + Л.

а7 — (рис. 5.2,е)

226

рядовую кинематическую цепь, не связанную с другими цепями. В этом случае каждую из них можно нагрузить единичной обобщенной силой со стороны вала двигателя ОР, =1) и замерить податливость цепи. Получим диагональную матрицу единичных податливостей в системе обобщенных координат ф:

Fy = diag(fn,/i2,

где/а (і =і 1, п) — суммарная единичная податливость упругих элементов в і-й кинематической цепи. Отсюда, "уводы" Aq скелета руки при известной на­грузке Q в системе координат q будут

Aq = [A-1]Fv[ATr‘Q, а их компенсация в системе координат i|i определится вектором

A»|i = — Fv[Arr1Q.

Именно система координат ф позволяет наиболее просто учесть влия­ние нелинейности (или зазоров) на точность позиционирования механичес­ких рук роботов, в том числе с дифференциальной структурой передач.