Использование дополнительных датчиков перемещений, устанавли­ваемых на время эксперимента между смежными звеньями руки, приводит к следующему общему алгоритму составления уравнения типа (7.6). По номинальным значениям a,, f, и а,- конструктивных параметров звеньев руки,

показаниям q3i экспериментальных датчиков положения и формулам прямой задачи о положениях вычисляют "искаженное" (не фактическое) положение и ориентацию рабочего органа робота, определяемые преобра­зованием

п

Мэ, о„=П Мз,-1,- 1=1

Индекс "э" здесь и в дальнейшем будет означать, что величина получена по показаниям дополнительных экспериментальных датчиков, а его отсут­ствие, что величина получена по показаниям датчиков обратных связей по положению звеньев руки, имеющихся в конструкции ПР. Искаженными они являются потому что расчеты ведут по номинальным значениям q3i, а„ th а„

которые отличаются от фактических q*3i, а*, ?*, а* на некоторые величины

Aq3D Да,, Дг„ Aah обусловленные погрешностями изготовления звеньев и

сборки манипулятора, а также ошибками установки "нулей" дополни­тельных датчиков положения в исходных конфигурациях звеньев механи­ческой руки.

Вместе с тем достаточно точно измеряют фактическое пространст­венное расположение рабочего органа ПР относительно эталонного объек­та, установленного в рабочей зоне робота, определяемое [4 х 4]-матрицей

MD„. Если с помощью линейного преобразования M0D привести результаты этих измерений к неподвижной абсолютной системе координат ПР, то можно записать уравнение

ДМ0„(Д#зД, Да, At, А а) = М^М^ — Мэ,0„, (7.7)

связывающее геометрические параметры с аттестованными геометриче­скими характеристиками эталонного объекта.

Аналитическое выражение ДМо„(Д^эд, Да, At, Да) для невязки может быть получено линеаризацией исходного выражения

м„=п М-ь

1=1

по соответствующим параметрам qi9 а(, осti(i = l, n)

Общий вид матрицы ЭМ,-/9s* при различных параметрах дифференцирования qi9 ai9 ti9 ах

Параметр дифференци­рования Ъ1к

Общий вид матрицы ЭМ

-sin qt		-cosa,- — cos q(	sin a, cos q{	-^sin^
cos <7,	-cosqt sinqi	sin a, • sin qt	at cos qi
0		0	—і о		0
0		0	о!		0
	‘0	sin a, sin#,	cosa,- sin#,*	! 0"
	0	-sina,- cos#,	-cosa, cos <7,	і 0
	0	-cos a,	-sin a і	І 0
	0	0	0	Го

dq( да і Э а(

ООО cos qt ООО sin£f — ООО О

ООО О

0 0 0 0′ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

ДМол^зд. Да. А/,Аа) = X [(ЭМэ0л/3$,)А? ЭД1 +(ЭМэ0л/Эа,)да,. +

1=1

+ (ЭМэ, оп /Э^)А/, + (ЭМэ0л/Эа,.)д<7,.],

где аМзі0л/а? і=Мзі0іІ._1(ЗМзіІ._1іІ./а5і)МзіІ.+1л) к = А, Т. е. sx=qi j2=a,.; 53 = ї4 = а,. Общий вид матриц ЭМэ, /3J* приведен в табл. 7.1.

[4 х 4]-Матрица M0D преобразования системы известных декартовых

координат OdXdIdZd эталона в абсолютные декартовые координаты OqXqYqZq робота имеет вид

Mod —

Kqd! Xqd

оооГГТ’

Правый верхний [3 х 1]-столбец XoD характеризует положение центра системы координат 0dXd1dZd в системе координат OoXqYqZq робота, а левая

верхняя [3 х 3]-подматрица K0D — есть матрица направляющих косинусов

указанных систем координат.

Компоненты матрицы M0D могут быть неизвестны или могут быть определены недостаточно точно. Поэтому в общем случае матричное урав­нение (7.7) представляет собой краткую запись системы из шести независи­мых линейных неоднородных уравнений с Ап + 12 неизвестными: Aq3b Да,,

Ath Да, (i = l, л) и 12 компонент матрицы M0D. Чтобы определить неизвест­ные, необходимо составить Ап + 12 уравнений.

В зависимости от имеющейся возможности измерений фактического расположения рабочего органа ПР относительно эталона, т. е. от того, какие из шести независимых элементов матрицы М|>, можно эксперимен­тально определить (регистрировать), строят схемы измерений. При этом базируются на приравнивании различного числа соответствующих элемен­тов (от одного до шести) матриц левой и правой частей уравнения (7.7).

Достаточное число точек (конфигураций руки) измерений опре­деляется из неравенства Х[ > (Ап + 12)/х2, где 2 < х2 < 6 — число независимых элементов матрицы MD„, регистрируемых на стенде. Заметим, что наиболее просто измеряют координаты наконечника измерительного инструмента относительно эталонного объекта, т. е. элементы четвертого столбца матрицы Me*,.

Для исключения влияния неконтролируемых факторов, связанных, на­пример, с трением и изменением температуры окружающей среды, изме­рения в одних и тех же конфигурациях руки робота следует повторить несколько раз (обычно достаточно трех раз) и провести рандомизацию параллельных опытов [30]. Кроме того, чтобы из решения линейной системы МОЖНО было определить компоненты матрицы Мол, требуются по крайней мере 4 характерные точки объекта, не принадлежащие одной плоскости.

Вычислив по результатам каждого опыта коэффициенты и правую часть уравнений (7.7), составляют систему линейных уравнений

ФЭДГ = ДЭ, (7.8)

где Фэ — [х, х2х3 х (Ап + 12)]-матрица коэффициентов при неизвестных; х3 — число параллельных опытов в каждой из х, точек; ДГ — (4л + 12)-мерный вектор неизвестных; Д* — (х! х2х3)-мерный вектор свободных членов.

Так как в системе (7.8) число уравнений х, х2х3 больше числа неиз­вестных Ап + 12 и все результаты измерений одинаково достоверны, то для нахождения решения используют метод наименьших квадратов [30] и из­вестный [1] аппарат псевдообратных матриц. Для оценки ДГ неизвестных параметров используют формулу

ДГ = ФЭ+ДЭ, (7.9)

где Ф3 = (Ф[ФЭ,) *Фз — псевдообратная матрица для матрицы Фэ при усло­вии линейной независимости столбцов последней. В частности, для линей­ной независимости уравнений системы (7.8) необходимо, чтобы при "изме­рениях" эталонного объекта перемещения в шарнирах руки робота при переходе от конфигурации к конфигурации были не менее 5°.

Решения (7.9) системы (7.8) определяют четыре искомых л-мерных век-

Л а А

тора Д<?ЭД1, Да,, Д5,, Да, и 12 компонент [4 х 4]-матрицы M0D преобразо­вания координат. Ее [3 х 3]-подматрица поворотов должна обладать свой­ством ортогональности. Однако это условие не было "заложено" в модель — систему уравнений (7.7) и затем (7.8). Поэтому девять найденных из (7.9) оценок компонент матрицы поворотов Кор не будут отвечать этому тре­бованию. В итоге ошибки их определения приведут к дополнительным

погрешностям определения искомых оценок Д<?ЭД1-, Да,, Д5,, Да,-(г = 1,л).

Эти ошибки обусловлены погрешностями измерений при проведении эксперимента.

Точность полученных оценок можно повысить, если к системе (7.7) добавить шесть уравнений связи девяти компонент матрицы поворотов Kqd — Необходимым условием ортогональности матрицы является орто — нормированность ее векторов-строк и векторов-столбцов. С учетом шести уравнений связи из девяти компонент Kij (і, j = 1,3) матрицы K0D независимыми будут лишь три любые компоненты, одновременно не принадлежащие одной строке или столбцу. Добавив к линейной сис­теме (7.7) нелинейные уравнения связей, получим систему нелинейных урав­нений

ФэДГ = Дэ,

Х4 = 1- ,==£3, (7-Ю)

14 = 1- ; = й,

1=1

содержащих 4л + 12 неизвестных, из которых 4л + 6 являются независи­мыми.

Имея в виду, что оценки ДГ, найденные из (7.9) без учета требований

ортогональности матрицы K0d, будут близки к более точным оценкам ДГ и

отличаться от них только вследствие ошибок измерений, оценить ДГ из уравнений (7.10) можно, используя метод наименьших квадратов с линей­ными ограничениями [1, 30].

Алгоритм решения сводится к следующему. Используя найденные из

(7.9) оценки ДГ и разложение функции в ряд Тейлора вблизи ДГ,, каждое нелинейное уравнение в (7.10) можно приближенно (с точностью до малых второго порядка) представить в виде линейного

кпкп+кпкп + к13к13 = o,5(i+£*+£*+£123)=б1.

Таким образом, вместо подсистемы нелинейных уравнений в (7.10) можно записать подсистему линейных уравнений

ЛДГ = Б, (7.11)

где Л — [6 х (4 + 12)]-матрица коэффициентов при неизвестных, содержащая [6 х 9]-подматрицу, элементы которой представляют собой оценки Ktj девяти компонент матрицы поворотов KoD, найденные из (7.9), остальные ее элементы равны нулю; ДГ — [4л + 12]-мерный вектор неизвестных; Б-

вычисляемый по оценкам шестимерный вектор свободных членов.

Теперь можно переформулировать задачу нахождения оценок решения системы (7.10) как нахождение оценок решений линейной системы (7.8) при линейных ограничениях (7.11). Вектор оценки с минимальной нормой невязки решения такой задачи определяется по формуле [1]

ДЇ = Л+Б + Ф:Дз, (7.12)

где Фэ = ФЭ(Е — Л+Л), Дэ=Дэ-ФЭЛБ, Е — единичная матрица.

Полученное выражение (7.12) учитывает при нахождении оценок Д#ЭД1,

Да,, Д?„ Да;(і = 1,л) искомых параметров требование ортогональности [3 х 2]-подматрицы KoD [4 х 4]-матрицы преобразования координат эталон­ного геометрического объекта в абсолютную систему координат робота.

Вернемся к анализу оценок, найденных из (7.9), среди которых имеется n-мерный вектор Aqm "ошибок" установки нулей дополнительных датчиков перемещений, установленных в шарнирах руки. С помощью этого вектора можно определить искомые ошибки Д|Гд/ (і = 1 ,л) привязки "нулей" л датчи­ков положения, имеющихся в конструкции ПР. Для этого при каждом измерении в х, характерных точках воспользуемся уравнением

А->д =ф-1(ф + Дфс)-(Яэ-Дчэд), (7.13)

где ф и q э — соответственно л-мерные векторы показаний датчиков положения, имеющихся в конструкции ПР и установленных дополнительно между смежными звеньями руки; Дяэд- найденные из решения (7.9) постоянные величины ошибок "привязки нулей" экспериментальных датчи­ков; Дфс — величины статических ошибок положения рабочего органа манипулятора, приведенные к координатам ф — валам датчиков положения, имеющихся в конструкции робота (см. рис. 7.4 и 7.5).

Составим из уравнений (7.13), записанных для каждого измерения в х, характерных точках, систему уравнений

А-Дфд =Aq3+c,

її н т

где А = 1 А-1: А-1 :•••: А-11 — [wxjx3 х п-блочная матрица, состоящая H3XjX3 [ихи]-матриц А; Аі|ід — n-мерный вектор неизвестных; Aq3+C — (их^з)- мерный блочный вектор, состоящий из х, х3 n-мерных векторов — правых частей уравнений (7.13).

Решение последней системы по методу наименьших квадратов будет

Дфд=А+Дяэ+с,

где АЛ = ГАг АГ1 Аг — псевдообратная матрица для матрицы А.

В основе уравнений, составленных для вычислений, может лежать вос­произведение как координат характерных точек объекта в его собственной системе координат, так и других геометрических величин, инвариантных к координатным преобразованиям: расстояний между характерными точками объекта или углов между нормалями к плоскостям. В этом случае, исполь­зуя известные из аналитической геометрии формулы принадлежности то­чек прямой или плоскости, надо вычислять указанные характеристики — расстояния и/или углы между плоскостями. В качестве эталонного объекта может быть использована инструментальная линейка или угольник.

Схема измерений, иллюстрирующая метод аттестации размеров звеньев руки робота с помощью инструментальной линейки, представлена на рис. 7.7. Известно, что длина отрезка в пространстве определяется нормой разности двух векторов, задающих соответственно начало и конец отрезка. Применительно к задаче аттестации параметров ПР можно записать

где M3>0nfi)Rn, г = 1,2— векторы, рассчитанные по показаниям <?э(1)’

и 9э(2) дополнительных датчиков положения и номинальным парамет­рам звеньев руки, определяющие характерную точку л-го звена руки (наконечник контрольного инструмента) в абсолютной системе коорди­нат; измерения проводят при касании наконечником соответственно начала и конца отрезка; dl2- аттестованная длина отрезка; ДНэ0(0 = = ДМ0п(1)(Д<7Эд, Да, At, А а) ■ R„ (і = 1, 2) — геометрические ошибки положения в абсолютной системе координат робота, обусловленные наличием первич­ных ошибок изготовления и сборки манипулятора Aq3ni, Да,, Д?„ Да,, не

равных нулю. Выполнив перемножение, в пренебрежении малыми второго порядка получим

А^эО(2)Д^эО(2-1) — ДКэО(1)Д^эО(2-1) = 0,5 [dl2 ~ ^эО(2-1)^эО<2-1))’ (7.14)

где R3o(2-d = R3o(2) — R3<xn — Левая часть этого уравнения является линейным выражением относительно неизвестных Aq3Ri, Да,, Ath Аа„ а правую

вычисляют по номинальным геометрическим параметрам звеньев руки и аттестованному расстоянию между характерными точками эталона.

Для определения 4п неизвестных надо составить три уравнения по матричному равенству (7.7), соответствующих аттестованным координатам одной точки эталонного объекта (например, точки / на рис. 7.7) в абсолют­ной системе координат робота, и не менее Ап — 3 уравнений (7.14).