В теории машин и механизмов [5] под уравновешиванием понимается уравновешивание сил инерции звеньев механизмов. При этом зачастую ограничиваются уравновешиванием главного вектора сил инерции, обеспе­чивая определенным подбором противовесов, устанавливаемых на звеньях, постоянство координат центра масс подвижных звеньев механизма.

В робототехнике под уравновешиванием понимают разгрузку приводов от статических моментов, обусловленных весом наиболее тяжелых звеньев механических рук. В противном случае влияние статических нагрузок не­обходимо учитывать как при выборе двигателей, так и в алгоритмах управления ими. По показаниям датчиков положения звеньев с помощью

Рис. 6.1. Механическая рука, статически уравновешенная противовесами

вычислительного устройства по­требуется определять дополни­

тельный управляющий сигнал на приводы, позволяющий ском­пенсировать статические момен­ты. Результатом такого решения будет завышенная установочная мощность приводных двигате­лей, которая требуется на пре-

одоление статических нагрузок манипулятора.

При уравновешенных стати­ческих моментах двигатели могут обеспечить лучшие дина­мические характеристики. Разу­меется, уравновешивание может

быть достигнуто за счет урав-

новешивания главного вектора

сил инерции звеньев механической руки методом установки противо­весов, подбор которых должен удовлетворять дополнительному условию: центр масс должен совпадать с точкой крепления механической руки к основанию (рис. 6.1). Противовесы Gh G2, G3 выбраны так, чтобы соблюдалось условие статического равновесия каждого звена относительно его точки опоры с учетом приведенного к звену веса всех последующих звеньев руки.

С целью уменьшения габаритов и инерционности механической руки в робототехнике для уравновешивания статических моментов звеньев меха­нических рук широко применяют пружинно-уравновешивающие устройства [1, 2, 14, 29], устанавливаемые на звеньях механических рук или на осно­вании и образующие уравновешивающий механизм. Теоретической основой алгоритма построения пружинно-уравновешивающих механизмов является известная [9] теорема о равновесии системы: материальная система будет находиться в равновесии, только если ее потенциальная функция имеет стационарное значение. Потенциальная функция уравновешенной меха­нической руки складывается из потенциальной функции Up звеньев руки, находящихся в поле сил тяжести, и потенциальной функции U„ пружинно — уравновешивающего механизма, отдельные устройства которого связаны механическими передачами со звеньями руки. Не нарушая общности рассуждения, можно считать, что потенциальная функция уравновешенной руки равна нулю, а следовательно, записать

(6.5)

В общем случае потенциальная функция Up звеньев механической руки представляет собой сумму некоторых нелинейных функций обобщенных координат. При этом веса и длины звеньев руки входят в эти функции в
качестве множителей. С учетом равенства (6.5) из сказанного следует, что для построения уравновешивающего механизма необходимо ввести в схему руки пружинные устройства, потенциальные функции которых описыва­лись бы нелинейными функциями обобщенных координат того же вида. Естественно, подобрать такое устройство для произвольной нелинейной функции трудно. Для решения этой задачи можно разложить нелинейную функцию обобщенных координат по системе таких функций, которые легко реализуются известными пружинными устройствами. Практической осно­вой предлагаемого алгоритма построения пружинно-уравновешивающего механизма является широкое распространение пружинных устройств, потенциальные функции которых являются гармоническими функциями положения ведущего звена. К таким устройствам, в первую очередь, относятся кривошипно-кулисный механизм с качающейся кулисой, между шатуном и кулисой которого установлена пружина, и кривошипно­кулисный синусный механизм с пружиной, установленной между стойкой и кулисой.

Разложим нелинейные функции, составляющие выражение для Up по системе гармонических функций от линейных форм обобщенных координат qt. Тогда потенциальная функция механической руки будет представлять собой сумму тригонометрических функций, и следующий шаг алгоритма сводится к поиску в схеме механической руки или синтезу таких элементов, перемещения которых — суть требуемые линейные формы обобщенных координат. Для механической реализации линейной формы от обобщенных координат используют дифференциалы и редукторы. С каждым из полученных таким образом элементов соединяется пружинное устройство, потенциальная функция которого есть соответствующая тригонометри — еская функция в выражении Up, взятая с обратным знаком.

Обозначим линейные формы обобщенных координат, являющиеся ар­гументами тригонометрических функций в выражении Up, через ф,. Моменты, развиваемые пружинными устройствами, определяются следую­щим образом:

Ф,.=Эир/Эф,.. (6.6)

С помощью этого выражения можно определить параметры пружинных устройств. Для проверки правильности расчетов используют формулу приведения сил Фj, развиваемых пружинными устройствами, к обобщенным координатам qt

е,=Хфу(ЭФ;/Э?.)- (6-7)

j

По абсолютной величине эти силы должны быть равны силам тяжести уравновешиваемых звеньев, приведенным к тем же обобщенным коорди­натам, но иметь противоположный знак. В качестве первого примера построим расположенный на основании уравновешивающий механизм для механической руки, кинематическая схема которой представлена на рис. 6.2,я, а схема нагружения звеньев гравитационными силами — на рис. 6.3. Как и в предыдущих главах, обобщенные координаты <7, (1= 1,

Рис. 6.2. Кинематическая схема механической руки с приводами, установленными на основании (а) и схема пружинного уравновешивающего устройства (б)

Рис. 6.3. Расчетная схема нагружения звеньев механической руки по рис. 6.2 гравитационными силами

2, 7) — относительные координаты звеньев 1, 2, 7 скелета

механической руки. На основании 0 установлены также приводы 8, 9,…, 14, связанные со звеньями 1,2,…, 7 механическими передачами так, чтобы матрица частных передаточных отношений, характеризующая связи между угловыми скоростями j/( (і = 1, 2,…, 7) выходных валов 15, 16,21 при­водов 8, 9,…, 14 и обобщенными скоростями </,, была треугольной и имела вид:

1 0 … О

(6.8)

А= 1 1 … О

її… 1

Если за начало отсчетов углов ху, принять их положения, когда все qt = О, то, используя матрицу (6.8), можно записать систему уравнений

(6.9)

При вертикальном расположении оси первого шарнира скелета руки целесообразно уравновесить статические моменты от веса звеньев 2, 3,… и т. д. При этом из-за малости размеров запястья механических рук можно считать веса звеньев 5, 6 и 7 сосредоточенными в шарнире между звеньями 4 и 5. Именно такому случаю соответствует схема нагружения, представ­ленная на рис. 6.3. Здесь /2, /3 и /4 — длины звеньев 2, 3 и 4 механической руки; G2, G3 и G4 — их веса соответственно.

Потенциальная функция для этой схемы нагружения руки будет иметь

вид

Up — [Ge + (G4/2)]/4 cos(q2 + + ch) + + G4 + (G^/2))lj cos(^2 + q*)+

+ [Gj; + G4 + G3 + (Gj/2)]/2 cos q2, где G£ — суммарный вес звеньев 5, 6 и 7.

Как видно, это сумма трех гармонических функций, аргументами кото­рых являются линейные формы обобщенных координат. Введем следую­щие обозначения:

Яг = фі> Яг + Яъ = фг> Яг + Яъ + Я* = Фз

и синтезируем в схеме привода звеньев руки элементы, положения которых относительно стойки определяются углами ф,, ф2 и ф3. Для этого, как следует из (6.9), достаточно из перемещений у2. Уз и V4 выходных валов 16, 17 и 18 приводов 9, 10 и 11 вычесть перемещение выходного вала 15 при­вода 8.

Кинематическая схема механизма, реализующая эту операцию, пред­ставлена на рис. 6.2, б. Она содержит три дифференциала — 22, 23 и 24, один из входов каждого из которых через редукторы 25, 26 и 27 с передаточным отношением, равным 2, соединен с выходными валами 16, 17 и 18 приводов 9, 10 и 11 соответственно (см. рис. 6.2, а). Второй вход каждого из них рядо­выми передачами с передаточными отношениями, равными единице, соеди­нен с выходным валом 15 привода 8. Выходы 28, 29 и 30 дифференциалов 23, 24 и 25 являются элементами, положения которых относительно стойки определяются углами ф,, ф2 и ф3 соответственно и которые служат криво­шипами уравновешивающих устройств 31, 32 и 33.

В соответствии с условием (6.6) необходимо, чтобы моменты от усилий пружин на выходах 29, 30 и 31 были равны

Ф] = — [Gx + G4 + G3 +(Сг2/2)]/25Іпфі,

Ф2= -[G2 + G4 + (G3/2)]/3sir^2,

Ф3 = -[Gx + (G4/2)]/4sir^3.

Если в качестве уравновешивающих устройств используют синусные механизмы, кулисы которых через мягкие упругие элементы связаны со стойкой, то средние усилия Т,, Т2 и Т3 упругих элементов и эксцентри­ситетов еь и є3 кривошипов 28, 29 и 30 выбирают с учетом соотношений

е, г,= /2[Gj + G4 + G3 + (G2/2)],

£2T2 = 13[Gz + G4 + (G3/2)],

e3T3 = l4[GL + (G4/2)].

Условия выбора параметров уравновешивающих устройств, выполнен­ных в виде кривошипно-кулисных механизмов с вращающейся кулисой, будут рассмотрены ниже.

Приведение моментов Фь Ф2 и Ф3 к обобщенным координатам q в соот­ветствии с (6.7) позволяет записать

Q2 = — [Gj; + G4 + G3 + (G2/2)]/2cos#2- [Gz + G4 + (G3/2)]/3cos(^2 + q3) —

— [Gv + (G4/2)]/4cos(<72 + q3 + q 4),

Q3 = — [Gv + G4 + (G3/2)]/3cos(«?2 + q3) — [Gj + (G4/2)l4cos(q2 + q3 + q4),

Q4 = — [G£ + (G4/2)]/4cos(<72 + q3 + q4).

В Рис. 6.4. Структура и схема нагружения руки с двумя степенями подвижности и поступатель­ной кинематической парой

Нетрудно убедиться (см. рис. 6.3), что, приведя силы [Gj; + (G4/2)], (G3 + G4)/2 и (G2 + G3)/2 к координатам cp2, ф3 и ф4, получим (-02), (-0з) и (-<24) соот­ветственно. Именно так выполнен ме­ханизм уравновешивания эксперимен­тального робота, рассмотренного в гл. 5 (см. рис. 5.13).

В качестве второго примера построим расположенный на основа­нии пружинно-уравновешивающий ме­ханизм для механической руки с двумя степенями подвижности, структурная схема и схема нагружения которой представлены на рис. 6.4. За обобщен­ные координаты q,{i =1,2) примем угол поворота звена 1 относительно горизонтали и смещение звена 2 относительно звена 1, отсчитываемое от среднего положения. Таким образом, если максимальный ход поступа­тельной пары А, то q2 ^ А/2. Пусть р! — расстояние от оси шарнира А, соединяющего звено 1 со стойкой 0, до центра тяжести звена 1, а р2 — рас­стояние от оси этого же шарнира до центра тяжести звена 2 при q2 = 0.

При выбранных обобщенных координатах потенциальная функция ме­ханической руки имеет вид

Up = (G, p, + Gjp^sin^ + G2q2 sin?,, (6.10)

где Gj и G2 — вес первого и вес второго звеньев соответственно.

Поставим в соответствие обобщенной координате q2 некоторое малое угловое перемещение у относительно звена 1 кривошипа, имеющего ось вращения, совпадающую с осью шарнира А: у = kq2 (к = const §> 1). Тогда произведя в (6.10) замену переменных и воспользовавшись приближенным равенством у — siny, а также формулами разложения, получим

Up = (G, p, + G2p2)sin^, + (kG2 / 2)cos(^, — у) — (kG2 / 2)cos(#, + y).

Обозначив

4і=Фі> 9i+Y = (p2> ?і-ї = Фз>

найдем в соответствии с (6.6) моменты, развиваемые уравновешивающими устройствами, установленными на легко синтезируемых в схеме элементах, повороты которых относительно СТОЙКИ суть ф|, фг И ф3

Ф| =—(Gjpj +С2р2)со8ф],

Ф2 -+(kG2 /2)8Іпф2,

Рис. 6.5. Уравновешивающие устройства на основе кривошипно-кулисного механизма с пружинами растяжения (а) и сжатия (б)

Отметим, что один из вариантов получения в схеме элементов, углы по­воротов которых относительно стойки равны ф2 и фз, заключается в уста­новке на звене 1 двух редукторов с передаточными отношениями +к и — к, выходные валы которых совпадают с осью шарнира. Значение Ш выби­рают, исходя из требуемой точности уравновешивания во всем диапазоне изменения обобщенной координаты ф2.

Задача обеспечения необходимой точности уравновешивания имеет важное самостоятельное значение. Ее решение во многом зависит от точ­ности воспроизведения требуемых гармонических нагрузок уравновеши­вающими устройствами, т. е. от конструкции и настройки последних. Рас­смотрим уравновешивающее устройство, выполненное на основе криво­шипно-кулисного механизма (рис. 6.5). Уравнение момента от сил упругости пружины растяжения в схеме, представленной на рис. 6.5, а, приведенного к валу кривошипа, в функции угла поворота кривошипа <р имеет вид

Мур = (г + r0 )cr sin ф — [r0 (г + r0 )rc sin ф] / L + [a(r + r0 )rc sin ф] / L,

где с, а — соответственно жесткость и предварительный натяг пружины; г —
длина кривошипа; (г + г0) — расстояние между шарнирами Л и С; укреп­ленными на стойке;

— длина пружины.

При а = г0 момент Мур представляет собой чисто гармоническую функцию

(6.11) (6.12)

Мур = (г+ r0)rc sin ф.

По условию равенства амплитуд уравновешиваемого момента

Ф = Ф0 sin ф, Ф0 = const

и Мур можно подобрать параметры уравновешивающего устройства.

Однако при изготовлении и использовании в конструкциях пружин растяжения, рассчитанных на большие нагрузки, возникают технологичес­кие и конструктивные сложности. Поэтому необходим поиск решения зада­чи с использованием пружин сжатия. Одно из решений иллюстрирует рис. 6.5, 6. Оно дает синусоидальную силовую функцию (6.11) также при а — г0, но приводит к существенному увеличению габаритов устройства. Другое решение основано на приближенном воспроизведении синусои­дальной силовой функции механизмов по рис. 6.5, а, но с пружиной сжатия. В этом случае для удовлетворительного уравновешивания необходимо с помощью методов многопараметрической оптимизации найти такие параметры уравновешивающего устройства (с, г, г0) и его настройку (а), которые обеспечивают наименьшее отклонение получающейся функции

Мур ={[(2r + r0 + a)(r + r0)cr sin ф] / L) — (г + г0 )cr sin ф

от требуемой (6.12) в заданном диапазоне изменения ф.

Рассмотренные устройства уравновешивания рассчитаны на постоян­ную уравновешиваемую нагрузку. Однако роботы и манипуляторы как универсальные машины предназначены для манипулирования объектами различной массы. В связи с этим уравновешивающие устройства манипуляторов настраивают обычно таким образом, чтобы точное уравновешивание достигалось при наличии в схвате манипулятора объекта, вес которого равен половине максимально допустимого веса переноси­мого груза. Тогда статическая нагрузка на двигатели не будет превы­шать приведенной к ним половины максимально допустимого веса груза в схвате.

Можно представить себе технологические задачи, для выполнения которых требуется только компенсация веса объекта манипулирования. Например, в начале развития промышленной робототехники широкое развитие получили так называемые сбалансированные манипуляторы, исследованные, в частности, в работах И. Л. Владова и В. Н. Данилевского, предназначенные для загрузки (выгрузки) в ручном режиме тяжелых изделий на технологические позиции [11]. Эти манипуляторы с ручным управлением часто оснащены единственным двигателем, воспринимающим только гравитационную нагрузку, приведенную к схвату манипулятора. При этом горизонтальные составляющие движений схвата осуществляются за

счет мускульной энергии рабочего. Системы такого типа называют "помощником рабочего".

В основе кинематической схемы большинства сбалансированных мани­пуляторов, имеющих антропоморфную структуру, лежит механизм панто­графа. Замечательное свойство этого механизма заключается в том, что при определенных соотношениях длин звеньев достигается геометрическое подобие перемещений в плоскости пантографа ведущей и ведомой точек механизма. Установив привод вертикального перемещения ведущей точки, можно воспринимать им все вертикальные силы, приведенные к схвату манипулятора и к ведущей точке пантографа.

В качестве примера на рис. 6.6, а представлена принципиальная кине­матическая схема сбалансированного манипулятора с механизмом панто­графа. Звенья 0-5 образуют скелет механической руки со стойкой 0. На звене 5 смонтированы схват 6 с приводом и рукоятка управления 7. Меха­низм пантографа образуют звенья 2, 3, 8 и 9. Размеры этих звеньев и места установки шарниров выбраны так, что точки Л, В и С механизма лежат на одной прямой, причем точка А неподвижна, а коэффициент подобия перемещений ведущей точки В и ведомой точки С равен отношению длин звеньев 3 и 9. Гидроцилиндр 10 привода вертикального перемещения веду­щей точки В связан с насосом 12 через управляемый от рукоятки 7 трех­позиционный золотник 11. С помощью параллелограммов, образованных звеньями 1, 2, 14, 16 и 16, 3, 4, 15, осуществляется поступательное пере­мещение в вертикальной плоскости звена 4. Все гравитационные силы, дей­ствующие на звенья манипулятора и приведенные к точкам В я С, воспри­нимаются гидроприводом. Однако в плоском механизме с двумя степенями подвижности есть вертикальные силы, которые не приводятся к упо­мянутым точкам. Эти силы уравновешиваются с помощью описанного выше механизма уравновешивания с пружиной 13.

Для доказательства необходимости применения такого механизма урав­новешивания можно воспользоваться методом замещающих точек [5]. Он заключается в замене сил тяжести звеньев и объекта эквивалентными силами тяжести сосредоточенных масс. Известно, что для статического размещения масс звена необходимо, чтобы сумма масс, сосредоточенных в замещающих точках, равнялась массе звена и чтобы общий центр масс, сосредоточенных в замещающих точках, совпадал с центром масс звена. Этим методом мы уже пользовались (см. рис. 6.3). Здесь также разнесем массу каждого звена по центрам шарниров, соединяющих его с соседними звеньями. Тогда, в результате последовательного приведения масс к шар­нирам скелета руки и механизма пантографа получим схему размещения масс манипулятора, представленную на рис. 6.6, б. На этой схеме ти т2 и т3 — константы, а масса т4 аддитивно включает в себя массу переносимого объекта. Если гидроцилиндр 10 зафиксирован в некотором положении, то массы тъ и т4 могут перемещаться только горизонтально, а потенциальная функция механизма в этом случае будет зависеть только от высоты положения массы т2 = const, т. е. будет гармонической функцией угла наклона звена 2 скелета руки.

Таким образом, для обеспечения положения безразличного равновесия механизма при фиксированном положении привода (иными словами для

сбалансированности манипулятора) необходим механизм уравновешивания. Усилие, воспринимаемое гидроцилиндром, зависит от конфигурации ске­лета руки и определяется отношением суммы моментов гравитационных сил масс т4 и т3 относительно точки А к расстоянию оси гидроцилиндра 10 от точки А.

В заключение отметим, что аналогичные проблемы и решения имеют место при синтезе механизмов шагающих машин [22].