Выше было показано, что для разомкнутых структур роботов прямая задача о положениях не вызывает затруднений и дается по (3.1) последовательным перемножением матриц, определяющих относительные положения звеньев. Обратная задача более трудоемкая и связана с решением трансцендентных уравнений. Только для определенного класса структур она имеет решение в явном виде.
Для структур с параллельными кинематическими цепями, примером которых являются /-координатные схемы роботов, ситуация по задачам о положениях прямо противоположная: прямая задача приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений, а обратная решается явно с помощью следующей элементарной процедуры.
Свяжем неподвижную систему координат XYZ с нижней (опорной) пластиной, как показано на рис. 2.14. Тогда координаты центра і-го (і =1,…, 6) шарнира на нижней пластине будут уь 0. Подвижную систему
координат XYZ свяжем с верхней пластиной (исполнительным звеном робота); в ней определены центры всех верхних шарниров координатами Зс(, Уі, 0. В качестве системы обобщенных координат принимают расстояния /, одноименных шарниров на верхней и нижней пластинах.
При решении обратной задачи заданы абсолютное положение и ориентация исполнительного звена робота в абсолютной системе координат с помощью матрицы Мпр, определенной в (3.13). Необходимо найти обобщенные координаты системы, удовлетворяющие этому заданию. Очевидно, координаты xt, yt, z, центров шарниров верхней пластины в абсолютной системе координат легко определяются соотношением
|
Xj |
||
|
Уі |
=мп„ |
Уі |
|
z, |
пр |
h |
|
1 |
1 |
Тогда обобщенные координаты /, системы вычисляют по формуле
h = ліІХі-Хі)2 +(Уі~Уі)2 ■
Следовательно, обратная задача о положении исполнительного звена робота решена.