При анализе механизмов робота возникают проблемы, связанные с приведением сил и моментов, заданных в одной системе координат, к силам и моментам другой системы координат [21, 22, 27]. Определим сначала формулы приведения внешних сил, действующих на звенья механической руки и заданных в абсолютной декартовой системе координат, к обобщен­ным координатам q скелета руки, а затем найдем формулы приведения обобщенных сил от одной системы обобщенных координат к другой.

Для реализации на ЭВМ процедуры приведения внешних сил можно воспользоваться формулами преобразования координат [27]. В качестве примера рассмотрим случай приведения силы

F = [Fx, Fy, Fz, Of,

приложенной в центре захвата, и момента

М = [Мх, Му, М2,0]т,

действующего на захват, к обобщенным силам

Q = {Qu &>•••>

в системе обобщенных координат q.

Приведем величины F и М, заданные в системе координат X0Y0Zq, связанной с основанием, к системе координат захвата

Fn = [FM, Fn>,Fnz,0]r,

М„=[М„,МпГМпг,0]г,

Fn=Mo>, М„=М;‘М.

Следующий шаг связан с приведением полученных векторов сил и моментов к началу (п — 1)-й системы координат. При этом следует учесть, что при переносе точки приложения силы возникает дополнительный момент, равный векторному произведению силы на расстояние между точками приложения силы. Поэтому рекуррентные формулы, по которым вычисляют векторы сил и моментов, приведенные к системам координат, связанным со звеньями и их центрами, имеют вид

Fn_! = M„_lnF„, (6.1)

= Mn_j nM„ + Mn_, n x Fn,

где M*_j n — четвертый столбец матрицы Мп_1п. Произведение векторов M*_i „ х F„, заданных в однородных координатах, имеет вид

м:_,„ XF„ = [т2пЛ — ~ Kzmn-i<mlnKy — 1>я,0]г.

Если п-я кинематическая пара вращательная, то обобщенная сила Q„ определена моментом Mnz n-1; если же п-я кинематическая пара поступа­тельная, то обобщенная сила Qn = Fnin_x, т. е. определяется компонентом

вектора F Таким же образом, нагрузка, приложенная к схвату робота, приводится к остальным обобщенным координатам q руки.

Любую другую внешнюю нагрузку, приложенную к другим звеньям ске­лета механической руки, приводят к обобщенным координатам q анало­гично, а получаемые одноименные обобщенные силы суммируют. Естест­венно, что для скелета механической руки, представляющего собой разомк­нутую кинематическую цепь, ненулевые значения обобщенных сил Q, от нагрузки, действующей на к-е звено, будут иметь место только для і < к.

Несколько иной подход к определению обобщенных СИЛ б,(/ = 1,п) по

заданной нагрузке, также удобный для расчетов на ЭВМ, связан с ис­пользованием матриц Якоби J частных передаточных отношений (3.5). Пусть, например, на схват механической руки действует нагрузка в виде силы F, приложенной в центре схвата, и момента М. Обозначим вектор нагрузки

Р = [Fx, Fy, Fz, Мх, Му, MZ]T.

Тогда, согласно [21]

Q = JrP. (6.2)

Как видим, даже если матрица J вырождена, вектор обобщенных сил Q определяется однозначно.

Для нагрузки F* и М ь действующей на к-е звено скелета руки, после приведения, например, силы F* к центру (к + 1)-й системы координат, вектор Q получим по матрице Якоби [6 х Л] укороченного механизма. Эта матрица

частных передаточных отношений связывает декартовы компоненты ли­нейной скорости точки к-го звена, совпадающей с центром (к + 1)-й системы координат, и декартовы компоненты угловой скорости к-го звена с обоб­щенными скоростями (і = 1,2, …, к) укороченного механизма. Одно­именные компоненты векторов Q от нагрузок на различные звенья сум­мируют.

Независимо от того, каким способом определен вектор Q обобщенных сил, эквивалентных суммарной внешней нагрузке (по формулам (6.1) или по формуле (6.2), или еще как-либо), все последующие преобразования сил в механизмах передач привода звеньев будем осуществлять с помощью матриц Якоби А частных передаточных отношений механизма привода [23]. Это удобно, так как в большинстве практических случаев элементы этих матриц — суть константы.

Приведение обобщенных сил Q к обобщенным координатам ф и об­ратно осуществляется преобразованиями

чг = [AY’Q (б. з)

Q= А7^,

где А = [Эу/Э#] согласно (5.1).

В дальнейшем мы иногда будем пользоваться обозначениями Мдв — вектор моментов, развиваемых двигателями привода, и Мур — вектор усилий устройств, уравновешивающих внешнюю нагрузку (возможно, и двигате­лей). Обычно, МдВ и Мур соответствуют системе обобщенных координат ф. В этих случаях при заданных Мдв усилия двигателей приводят к системе координат q согласно (6.3) как

Qnp А Мдв,

а уравновешивающие моменты Мур при заданных или приведенных к системе обобщенных координат q внешних нагрузках Q определяются как

Myp=-[Ar]-,Q.

Если внешняя нагрузка — это только нагрузка Р, действующая на схват робота, то

Myp = -[AT]-,JrP.

Если уравновешивание осуществляется двигателями, то

Мдв = Мур = -[Ar]_1JrP. (6.4)

Последнее соотношение показывает, что реализация требуемого воз­действия Р’ на объект манипулирования в захвате робота по управляемым

моментам двигателей может не иметь успеха. Действительно, согласно (6.4) воздействие на объект определено соотношением

Р’ = — Р = [Jr ]-1 АГМДВ,

и в случаях вырожденности матрицы J найти значение Мдв, удовлет­воряющее произвольно заданному Р’, невозможно.

Описанные выше способы приведения нагрузок на манипуляционную систему к обобщенным координатам, как отмечалось выше, предназначены в основном для использования в алгоритмах численных расчетов на ЭВМ при решении задач управления. В задачах синтеза функциональных меха­низмов и аналитического исследования особенностей поведения манипу­ляционной системы под нагрузкой воспользуемся физически более на­глядным описанием модели манипуляционной системы (см. гл. 5) и другими способами приведения нагрузок к обобщенным координатам. В частности, в аналитических исследованиях модели манипуляционной системы, находя­щейся под действием внешних потенциальных сил, будем использовать метод дифференцирования потенциальной функции.