Получение зависимостей элементов векторов V или V’ от элементов матрицы Мов по формулам (3.3) или (3.4) приводит к громоздким преобразованиям. Для вывода этих зависимостей рассмотрим подход, основанный на использовании матрицы Якоби [15] системы уравнений V = F{qv…,q6). Для анализа структур пространственных механизмов рук матрицу Якоби стали широко применять с начала 1970-х годов [20,27].

Из соотношений (3.2) следует, что приращения Д<?, или обобщенные скорости qt входят в уравнения этой системы линейно. Это дает право рассматривать коэффициенты при обобщенных скоростях как мгновенные частные передаточные отношения. Полученная таким образом система из шести линейных уравнений относительно обобщенных скоростей может быть представлена в виде

V = Jq, (3.5)

где J — матрица Якоби частных передаточных отношений размерностью [6×6], элементы которой

Jji —dVjl dqi являются функциями обобщенных координат.

33-

-23 •

Рис. 3.2. Схема, иллюстрирующая получение частных передаточных отношений между скоростью вращения в і-й паре и компонентами вектора скорости захвата (а), а также программное задание положения и ориентации захвата (б)

Элементы Jjj можно выразить через элементы матриц М06 и М0І_, (і = 1,2,…, 6), не прибегая к преобразованиям матриц, а основываясь только на правилах определения мгновенных частных передаточных отношений от і-й кинематической пары к j-му элементу вектора V скорости захвата [27]. (Матрица М<>о (і = 1) при выбранной системе координат является единич­ной.) Для получения шести элементов Jjj (j = 1,2,…, 6), являющихся коэф­фициентами при qt, следует "заморозить" все обобщенные координаты, кроме <7„ и, рассматривая полученный механизм с одной степенью свободы, определить передаточные отношения Vj/qi.

Рассмотрим рис. 3.2,а, на котором представленная система 00 неподвиж­на, система О,-.! связана с (і-І)-м звеном, ее ось Z;_j совпадает с осью і-го шарнира, а центр захвата расположен в точке 06. Система координат захва­та Х’6, F6′, Z’6 имеет оси, параллельные соответствующим осям абсолютной системы координат. Элемент представляет собой передаточное отноше­ние между скоростью <7, в і-й кинематической паре и j-м элементом вектора

V при всех qk=0, кФ і, т. е. к = 1,…, г-1, і + 1,…, п.

Если і-я кинематическая пара поступательная, то У,-, при j = 1,2,3 равны направляющим косинусам вектора Z^u т. е.

Ju = mv, i-i> J2i=mZ-й hi = m0A-l (3-6)

Jjj = о для; = 4,5,6.

Если /-я кинематическая пара вращательная, то частные передаточные отношения от г’-й кинематической пары к первым трем элементам вектора

V равны векторным произведениям кратчайших расстояний между осью Z,_, і-й пары и осями Х’ь, У6′, Zg на проекции единичного вектора Z,-_i на плос­кости YqO^Zq, ZqOqXq и Хо00іо соответственно. Как видно из рис. 3.2,я величина частного передаточного отношения, связывающая, например, ско­рость с], с составляющей і поступательного перемещения точки 0б, равна сумме произведений проекций единичного вектора Zj_! на оси Y0 и Х0 на соответствующие разности координат точки 06 и центра (і-І)-й системы координат

hi = (У6 ~ У t-і) cos(X0, Z,_! )-(х6- х,_!) cos (У0, Z,._!).

Для передаточных отношений Ju (для скорости х) и J2i (для скорости у) получим аналогичные соотношения:

Ju = (z6 — Zi-i)cos(Y0,Zi_1)-(y6 — y,._1)cos(Z0,Z,._1), •/2,=K-^-i)c°s(Z0,Z1._I)-(Z6-zl, i)cos(X0,Z1._1).

Если точка с координатами х6, у6, z6 взята на оси Z,_1( то значение Jjj (j =1, 2, 3) = 0, поскольку приведенные выражения имеют вид уравнений прямой (оси Zj_t) в проекциях на координатные плоскости. Кроме того, один из элементов Jjj (j = 1, 2, 3) обращается в нуль, если ocbZ,_, параллельна одной из осей абсолютной системы координат.

С использованием элементов матриц М0| выражения для Ju, J2i и У3, будут иметь вид

hi = (тй ~ “(m06 -Ww-l)^-!,

hi = (тм — "C-i )mZ-i — (m06 — mo*-i (3.7)

hi = ("$ — тоиК“-с

Остальные три составляющие Jjj (j = 4, 5, 6) при вращательной і-й кинематической паре всегда будут равны соответствующим направляющим косинусам, т. е.

= h, i = mZ-її h, i = mZ-v (3-8)

Таким образом, положение звена механической руки в зависимости от обобщенных координат можно определить с помощью матричных преобра­зований по формуле (3.1), а его скорости либо по формуле (3.5) с учетом

(3.6) или (3.7) и (3.8), либо по формулам (3.2) и (3.4). В обоих случаях получим уравнения для расчета скоростей звеньев, не прибегая к дифферен­цированию соотношения (3.1).