Скелет руки робота представляет собой пространственный механизм, конфигурация которого определяет положение исполнительного органа в пространстве. Будем рассматривать скелет руки как цепочку п жестких шарнирно-связанных звеньев, соединенных между собой вращательными и поступательными кинематическими парами пятого класса. Первое звено цепочки также с помощью кинематической пары пятого класса связано с основанием.

Конфигурация образованного таким образом механизма определяется однозначно относительными положениями смежных звеньев, включая положение первого звена относительно основания. Поэтому переменные параметры, характеризующие эти положения звеньев, могут быть приняты за обобщенные координаты qt. По определению [3, 4] число таких независимых параметров есть число степеней подвижности механизма. Таким образом, для рассматриваемой разомкнутой кинематической цепи число степеней подвижности равно числу подвижных звеньев скелета механической руки. В дальнейшем под числом степеней подвижности ро­бота понимается именно число степеней подвижности скелета его руки в предположении абсолютной жесткости звеньев и идеальности кинема­тических пар[1].

При рассмотрении моделей механизмов с учетом нежесткости звеньев, зазоров и упругостей в кинематических парах число степеней свободы системы всегда превышает число степеней подвижности исследуемого механизма. Они совпадают, если рассматриваемая модель находится на уровне кинематической структуры с идеальными звеньями и шарнирами.

Для формализации описания механизма, необходимой для решения задачи о его положении, скоростях и т. д., с каждым звеном скелета руки свяжем правую систему координат, в которой определены все точки данного звена, в том числе положения осей предыдущей и последующей

кинематических пар. Если задаться величиной смещения qt в /-й кинема­тической паре, то положение одной системы координат относительно предыдущей будет полностью определено.

Для вычисления координат точек j-го звена в (і — 1)-й системе координат воспользуемся матрицами размером [4×4], преобразующими так

называемые однородные координаты точек трехмерного пространства [1, 18]. Эти матрицы оказались чрезвычайно удобными при исследовании пространственных механизмов с низшими кинематическими парами [12, 13, 23, 24], в том числе промышленных роботов [21, 22], так как позволяют описывать не только поворот вокруг координатных осей, но и смещение начала координат, а при многократных преобразованиях действия над та­кими матрицами сводятся только к их умножению.

В частном случае однородных координат (когда при переходе из одной системы координат в другую масштаб не меняется) имеет место простое и физически понятное матричное соотношение, определяющее переход из і-й системы в (»- 1)-ю:

4-і"		cos(X1_,,X1)	cos(X(_,,^)	cos(X,._,,Z,.)		V
Уі-1		cos(l^_,,X1)	cosiY^)	cos(^_„Z,.)	Уі-i, i	Уі
zi-1		cos(Z,._j, Xj)	cos(Z,_1,XI)	cos(Z1._„Z()	Zi-U	» h
1		0	0	0	1	1

где ху = [д^ yjt ZjV — вектор-столбец координат точки в 7-й системе; х,_, , = = [*і-і, і > Уі-,і у 2і-і, і >]г- вектор-столбец координат начала і-й системы в (і — 1)-й системе координат; подматрица Км>, размером [3 х 3], образованная

направляющими косинусами, определяет поворот і-й системы относительно (і — 1)-й. В сокращенном виде это матричное преобразование представ­ляется так

Хы = М,_их,,

Обратный переход из (і — 1)-й системы в і-ю определяется аналогичным матричным соотношением:

х,- =

Отметим, что матрицы Мц,- и М,,_, являются взаимообратными, т. е.

и часто их удобно вычислять, не прибегая к правилам обра­щения матриц, а с помощью формулы

КГ-W	7 a 1
0 0 0	1

При последовательном переходе по цепочке шарнирно-соединенных звеньев, например от л-й системы координат (л-го звена) к нулевой (свя­занной с основанием), формула перехода имеет вид произведения матриц

Xo = MoilMlj2..JMn_ljnxn =М0,пх„. (3.1)

Очевидно, структура матрицы М0„ идентична указанной выше структуре матриц-сомножителей М,_,При большом числе переходов-преобразований каждый элемент матрицы М0п представляет собой громоздкое выражение. Для проверки правильности вывода подматрицы К0,„ в матрице М0„ удобно пользоваться следующими правилами:

а) сумма квадратов элементов, содержащихся в одной и той же строке или в одном и том же столбце, равна единице;

б) сумма произведений соответственных элементов двух строк или двух столбцов равна нулю.

Если системы координат, связанных со звеньями модели задавать произ­вольно, то каждая из матриц Мм>, будет содержать 6 параметров привязки i — й координатной системы к (і-І)-й — три линейных и три угловых (углы Эйлера). Для рассматриваемой модели скелета руки эти параметры не явля­ются независимыми: каждое звено — два условия жесткой связи линейного и углового относительного положения двух осей предыдущей и последующей кинематических пар. Данное обстоятельство вынуждает искать и назначать такие системы координат, связанные со звеньями, для которых каждая матрица М*_,, будет содержать только 4 независимых параметра: два линейных и два угловых. Следствием этого станет упроще­ние выражений в Мм; и облегчение аналитического и численного исследо­вания не только кинематики, но и статики и динамики механизма. В настоя­щее время широкое распространение нашла система, предложенная в работах [21, 23].

Рассмотрим общий случай расположения осей двух последовательных кинематических пар в пространстве. Проведем через оси двух соседних кинематических пар две параллельные плоскости Р, и Р’ (рис. 3.1), удален­ные друг от друга на величину наикратчайшего расстояния а, между этими двумя осями. Центр г-й системы координат расположим в плоскости Р, в точке пересечения линии наикратчайшего расстояния с осью (і + 1)-й кинематической пары. Ось X,- совпадает с линией наикратчайшего расстояния и направлена от /-й к (і + 1)-й паре. Ось Z, совпадает с осью (г + 1)-й кинематической пары и направлена так, чтобы глядя с оси X, поворот оси Z, относительно оси Z,_! на угол скрещивания осей пар а,

осуществлялся в положительном направлении (против часовой стрелки). Направление оси Yt выбирается, исходя из правой системы координат. При таком построении расстояние между началом (і + 1)-й систе­мы координат и точкой пересечения осей X,- и Z,_] в общем случае бу­дет равно некоторой величине tt. Положение ї-го звена определяется также углом q( поворота оси X, вокруг оси Z,_отсчитываемым от оси Х/_].

Свяжем абсолютную (і = 0) правую систему координат с основанием, направив ось Z0 вдоль оси первой кинематической пары. Конкретизируем также положение п-й системы координат, связанной с исполнитель­ным органом-захватом, так, чтобы ось Х„ была параллельна плоскостям губок захвата, а ось Уп, перпендикулярна им. Полюс п-й системы коор­динат расположен в центре между губками захвата. В принятой системе обозначений матрица перехода от i-й к (і-І)-й системе координат имеет вид

cos qt — cos а і sin q. sin a, sin q. a{ cos q. sin q. cos at cos qt — sin a, cos q. a{ sin q.

cos a, 0

Таким образом, положение звена і (і-й системы координат) относи­тельно звена /-1 ((/—1)-й системы координат) определяется четырьмя пара­метрами: ап ti9 ос,, qt. В случае вращательной кинематической пары обоб­щенной координатой будет q. =q. в случае поступательной — q{ = th Пара­метры а{ и а і всегда являются константами и определяют длину звена скелета руки и угол скрещивания двух соседних осей пар. При описанном способе назначения систем координат всегда > 0, а знак г, определяется в

(/-1)-й системе по направлению оси ZM.

В промышленных роботах оси смежных кинематических пар, как пра­вило, или параллельны, или взаимно перпендикулярны (в основном такие схемы и рассматриваются в дальнейшем). Кроме того, стремление к упро­щению конструкции и алгоритмов управления часто приводит к вариантам схемы с = 0 или tt = 0. Эти важные для практики частные случаи схем и

матриц преобразования для вращательной пары приведены в табл. 3.1, а для поступательной пары — в табл. 3.2. Отметим, что в случае вращательных пар с параллельными осями (а, = 0) значение /, четко не определено и может

назначаться произвольно, исходя из удобства дальнейшего анализа или вы­числений. В частности, за счет смещения і-й системы координат вдоль оси (і + 1)-го шарнира можно всегда получить г,- = 0.

Матрицы, приведенные в таблицах удобны при формализации вывода математических соотношений для описания положения звеньев робота в пространстве по кинематической схеме его скелета.