В данном разделе рассмотрены подходы к решению задач определения вектора V скоростей любого і-го звена как твердого тела. Элементами вектора V являются три скорости поступательного перемещения по трем взаимно перпендикулярным направлениям и три мгновенные угловые скорости относительно этих направлений.

V = [i, у, z, Э*, Эу, 0/.

Элементы вектора V являются функциями обобщенных координат и ско­ростей, подлежащими определению. Покажем, как найти эти элементы ме­тодом дифференцирования введенных выше матриц преобразования коор­динат. Вектор V можно получить в абсолютной системе координат и в сис­теме координат захвата (при этом подвижная система координат захвата мгновенно замораживается и вектор ищут относительно замороженной системы).

Для определения V в абсолютной системе координат выпишем матрицу

преобразования при малых приращениях обобщенных координат Aqh

используя матрицы, приведенные в табл. 3.1 и 3.2. Пренебрегая членами второго порядка малости, и учитывая, что

cos(qt +Аqi) = cosq{ — Ддоіод, sin(g; + A q() = sing, + A^cosg,-, представим эту матрицу в виде суммы двух матриц

М06 = М06 + АМ06.

Первая — матрица преобразований при Aq{ = 0; элементы второй матрицы являются линейными функциями Aqt

АК0б(Д4,>4;)	Ах0(Д qt, q,)
0	1

Матрица АК06 определяет приращения направляющих косинусов системы координат захвата в абсолютной системе координат, а столбец Ах0 — сдвиги центра системы координат захвата, обусловленные малыми Ад,.

Совместим еще одну систему координат, связанную с захватом и ориен­тированную при Дд, = 0 так же, как и абсолютная система координат, с центром захвата. Тогда при Дд, Ф 0 поворот введенной системы координат относительно абсолютной выражается перемножением матриц

ДК06=ДК06(Д^,9,.)-К^(^.), результат которого имеет канонический вид [15]:

“в* е, О -0, 0V о

О -0„

Здесь О*, 0Г 0г — малые повороты захвата относительно осей Х0, Y0, Zq соответственно.

Заметим, что канонический вид матрицы получается только при одинаковой направленности абсолютной и введенной систем координат и удобен тем, что в ней значения 0„ Qy и 0Z однозначно "привязаны" к опреде­ленным элементам матрицы. Таким образом, при каноническом представ­лении имеют место следующие соотношения между соответствующими компонентами матриц:

Д^об = ~Акоб = »

M‘3 = — APi=0v;

v06 21

v06

:i2

06

д^ = — м£=-0„

(3.3)

Добавив к матрице ДК0б правый столбец матрицы ДМ06 и нулевые элементы в четвертую строку, получим матрицы искомых решений задачи. Ими являются значимые наддиагональные элементы, т. е. Ах, Ay, Az, А„ Ау Дг, представляющие собой линейные функции Aqt. Заменив в этой матрице малые приращения Дд, производными по времени, запишем матрицу для

У, Z,	вг	0,
0	-в*	в,	X
	0	-в,	У			Дх0(9/. яд
“в,	ё,	0	Z		0	1
0	0	0	1

Mvo —

Чтобы получить матрицу, описывающую приращения координат Ах’, Ду’, Az’, 0′, 0′, 0′ в системе координат захвата, достаточно повернуть абсо­лютную систему координат таким образом, чтобы ее оси были параллель­ны одноименным осям системы координат захвата при Aqt = 0. Матрица такого поворота имеет вид

	о’
0	1

Мп =

Тогда выражение для вектора скоростей изменения координат в системе, связанной с захватом, в каноническом виде представляется так:

0	-к	%	х’
К	0	-К	Г
-к	е;	0	Ї
0	0	0	1

MVn =

= М • ДМ

(3.4)

06*

Из выражений (3.3) и (3.4) видна связь между М№ и MVn

Mvo = M;1Mv„Mn

или

Mv„=MnMvoM;1.

Используя эти соотношения, а также свойство ортогональных матриц, за­ключающееся в том, что каждый ее элемент равен своему алгебраическому дополнению [15], можно получить формулы для пересчета вектора скорос­тей V в абсолютной системе координат в вектор скоростей V’ в системе координат захвата

*’ = "*06* + ткУ + 0’* = т№х + т£ву + ;

У = т£х + т£у + т£& в’ =т£вх+т£в у + т^0г;

Z = т&х + т£у + m£z; 0′ = т£вх + m^Qy + т^0г, где mos — компоненты матрицы М^.