В качестве кинематических особенностей структуры руки с п = 6, не приводящих к потере степени свободы захвата, можно рассматривать пере­сечение двух или трех осей вращательных пар или их параллельность. Обозначим признак пересечения двух или трех осей в одной точке симво­лами 2+ или 3+, а параллельность — 2~ или 3". Покажем, что достаточным условием существования решения обратной задачи в явном виде является наличие в структуре руки сочетания признаков 3" или 3+ и 2~ или 2+.

Так как в каждой из таких структур существует кинематическая пара, не входящая ни в одну из указанных групп, то общее число различающихся

вариантов структур равно учетверенному числу перестановок из трех элементов, т. е. 24.

Варианты структур будем обозначать последовательностью групп, начиная от основания. Например, обозначение 3+-1-2~ указывает, что пер­вой от основания является группа из трех кинематических пар, оси которых пересекаются в одной точке, затем следует индивидуальная пара, и далее группа из двух пар, оси которых параллельны. Отметим, что симметричные варианты структур, например 3+-1-2- и 2~- 1- 3+, отличающиеся переста­новкой крайних групп элементов, будут иметь взаимообратные матрицы М06. Очевидно, что если для одной из этих структур обратная задача ре­шается в явном виде, то то же самое справедливо и для симметричной ей структуры. Структуры скелетов рук, содержащие соответственно 3+ И 3“, приведены на рис. 3.10 и 3.11. Для каждой структуры указаны индикаторная ■система координат и индикаторная матрица J. С учетом указанной выше симметрии представленные структуры охватывают все возможные вариан­ты, содержащие 3+ или 3“ и 2+ или 2~.

Исследование выделенного класса проведем на основе анализа индика­торной матрицы J, определяющей наличие зависимостей между обобщен­ными скоростями q =[4’у,…,4б]Г механизма и проекциями скоростей

V = J системы координат, связанной с захватом и совпадаю­

щей в текущий момент времени с индикаторной системой, на ее собствен­ные оси.

В индикаторной матрице проявляются все кинематические особенности рассматриваемого механизма. Как показано ниже, по расположению нуле­вых и ненулевых элементов матрицы можно наметить алгоритм решения обратной задачи, а также определить вид самых простых независимых уравнений системы, которые можно получить преобразованиями соотно­шений из системы (3.14).

Правила выбора индикаторной системы координат (см. раздел 3.5) обусловлены требованием обеспечения максимального числа нулевых элементов в матрице J. В разделе 3.6 при анализе особых конфигураций мы использовали только одно свойство индикаторной матрицы, а именно нали­чие нулевого столбца при потере степени свободы захвата. Здесь же, для доказательства существования решения обратной задачи о положениях, потребуется еще ряд свойств индикаторной матрицы.

1. Первое свойство состоит в том, что, поскольку функция положения системы является интегралом от функций ее скоростей, то по виду инди­каторной матрицы можно сделать заключение о структуре некоторых урав­нений системы (3.14), используемых для решения обратной задачи. Рассмотрим это важное свойство на конкретном примере.

В отличие от традиционного в теории машин и механизмов подхода [12, 13, 24], в соответствии с которым вводимая система координат жестко связывается с одним из звеньев механизма, индикаторная система координат может быть не связана ни с одним из звеньев реального механизма. Однако его можно достроить, получив при этом модифицированный механизм с тем же п, одно из звеньев которого будет жестко связано с индикаторной системой координат.

3—1-2+

3—2—1

(Яі+Я2+Яз)> (Я4+Я5)>Я6~

е * *1 ОіО * *10 о о о_о! о * (То б;о о 0 0 Oil 1 1 1 1»0 о

ш {	* */0|* 0 0
	* * *10 0 0
I	0 0 0’* 0 0
	оГо“ о] о * *
d»	0 0 0,1 0 *
	1 1 но * *

-+Я1 Я2 І+Я5

ІЯі+ Я2+Яз)>Я5> Яв—П

3—2+-1

3—1-2-

(<7і+<72+<7з)> <74» (<75+<7б)"*“11

-Я і — Я2 — Яв

А-0-QjO о 0 0 ОіО * * "О 0 04 о 1 і і! о * * (Я1+Я2+Яз)> Я4, <75—п

0_0_0j0 о * О 0 ОіО а а 0 0 04 О О 1 1 1 *0 с с

1-3—2+

1-3—2- -Яв -Я2 -ЯЗ

(Я2+ЯЗ+Ял),Я5,Яб^~ П

*10 о/оіо 0	-+Я1			п	*’ о о/о* 0 *
О1 * ^О’О 0	-+Я2		і	ш{	o’ * */ о! о *
о|_* * *Jo 0	-+ЯЗ			о ■V , , * L*. о о
0,1 1 1,0 *					011 1 1і0 0
*10 0 ою *				d-	*’ 0 0 O’ 0 0
Wo о’і о					*TD~o о! і і

Ш

ЧЬ (?2+?3+4г4). (?5+?бЬ~ І

В качестве примера на рис. 3.12,а показана структура 2+-1-3+, обладаю­щая той особенностью, что оси поворота звеньев і и 2 пересекаются в точке А, а оси поворота звеньев 4, 5, б — в точке В. Индикаторную систему Х„, Уи, Z„ выбираем так, чтобы ее центр совпадал с точкой В ось Х„ — с ли­нией АВ, а ось Z„ всегда параллельна оси поворота звена 3. Выбранная индикаторная система не совпадает ни с одним звеном механизма, но добавив звено 7, соединенное в точке В со звеном 3 вращательной парой, ось которой параллельна оси Z„, а со звеном 1 — в точке А сферической и поступательной парами, получим модифицированный механизм, в котором введенная индикаторная система Х„, Y„, Z„ будет жестко связана со звеном 7. Положение звена 7 и, соответственно, индикаторной системы определено только координатами qu q2, <?3. Остальные обобщенные координаты (q4, q5, q6) определяют положение захвата в индикаторной системе координат. Следовательно, матрицу J можно разбить на две части I и II (см. рис. 3.12,а), причем верхние три строки части I определяют проекции хи, уи, іи абсолют­ной скорости центра индикаторной системы (точка В) на ее оси, а нижние три строки части — проекции 0ил:,0иг0иг угловой скорости. Скорости изме­нения координат точки А, наблюдаемой из подвижной индикаторной системы, определяются соотношениями [15]

*А ®иг^А у^А’

(3.15)

Уа=-Уи+^и^а-К2ха,

ZА *А >

где хА, уА, zA — координаты точки А в индикаторной системе.

Уравнения (3.15) всегда интегрируемы, поскольку они являются полным дифференциалом функции положения точки А в индикаторной системе координат. Вследствие особенностей назначения индикаторной системы координат и соответствующего выбора наблюдаемой точки А многие слагаемые в соотношениях (3.15) обратятся в нуль. Для рассматриваемого примера всегда уА = 0, zA = 0, поэтому по индикаторной матрице J с учетом

(3.15) можно записать:

(3.16)

Из условия интегрируемости уравнений (3.15) следует, что коэффи­циенты при производных в уравнениях (3.16) могут зависеть только от обобщенных координат, производные которых входят в данное уравнение. Следовательно, даже не интегрируя уравнения (3.16), по виду индикаторной матрицы можно установить, функциями каких обобщенных координат qt будут конечные соотношения. Так, для рассматриваемого примера

ха= Яь)’Уа= Ї2(Яі>Яз) = 0,гА= Ядх^2) = 0.

Для всех приведенных на рис. 3.10 структур якобиан получаемых конеч­ных уравнений с точностью до нулевых и ненулевых элементов соответст-

і	1	2	3	4	5	6
си	71/2	71/2	71/2	71/2	71/2	0
щ	0	а2	0	0	0	0
ч	0	0	0	и	0	ч

хъхъ

0	0	*	0	0	0
♦	0	♦	0	0	0
♦	♦	0	0	0	0
*	*	0	♦	♦	♦
♦	♦	0	♦	♦	*
♦	0	1	0	*	♦

J=

II

Рис. 3.12. Схема назначения систем координат в структуре 2+-1-3+ (а) и "нулевая" конфигурация (<?, = 0, / =1,6) (б)

вует трем верхним строкам индикаторных матриц. Таким образом, три верхние строки индикаторных матриц любого из рассматриваемых вариан­тов (см. рис. 3.10) указывают на существование и вид трех уравнений для определения трех неизвестных обобщенных координат.

2. При наличии в структуре признака 3+ верхняя половина матрицы J всегда будет иметь блок [3 х 3] нулевых элементов.

3. При наличии 2+ и выборе индикаторной системы координат таким образом, чтобы одна из ее осей проходила через точку пересечения осей вращательных пар, в верхней части матрицы J появится блок [3×3], одна из

строк которого содержит один ненулевой элемент и по крайней мере одна из оставшихся строк — не более двух ненулевых элементов, один из которых в одном столбце с упомянутым ненулевым элементом первой строки.

4. При наличии L~ (L= 2, 3) в нижней полуматрице J образуется блок [3xL], имеющий одинаковые столбцы [а, Ь,с]т. Выбирая ориентацию
индикаторной системы координат такой, чтобы одна из координатных осей была параллельна осям вращательных пар группы, получим в блоке [3 х L]

две нулевые строки и одну единичную (см., например, блок d в матрицах на рис. 3.11). Это свойство является отображением особенностей матричных преобразований систем с параллельными осями. Результирующая матрица преобразований координат от т-й до (т + Ь)-й системы имеет вид

m+L cos X Яі і=т m+L sin X Яі і=т 0 0

0 0 0 о

М

(3.17)

m, m+L

m+L -sin I q, і=т m+L -cos X Я і і=т 0 0

2>, cos Хя, j=m m+L і X аі sin X 4j і=т У=1 m+L і=т 1

Как видно, в механизмах, содержащих группы с двумя или более парами с параллельными осями, каждую такую группу при анализе ориентирующих возможностей механизма можно заменить одной эквивалентной кинемати­ческой парой. Ориентация оси этой пары совпадает с ориентацией осей в группе, а угол поворота равен сумме обобщенных координат группы.

При L = 3 в рассматриваемых случаях над блоком d образуется блок е, содержащий одну нулевую строку. Блок е указывает на существование двух уравнений с тремя неизвестными координатами. Если известна сумма этих координат (т. е. еще одно уравнение), а также известны координаты, не вхо­дящие в эту тройку, то с учетом элементов четвертого столбца матрицы

(3.17) можно выписать следующие уравнения:

(3.18)

ат cosqm + am+l cos(qm + qm+l) = Fx — am+2 cos(qm + qm+i + qm+2), amsintfm +am+lsin(qm +qm+l) = F2-am+2srn(qm +qm+l +qm+2),

где F, и F2 известные функции от параметров механизма, программного задания и обобщенных координат, кроме qm, q^, q^2. Так как правые части системы (3.18) известны, и тригонометрические функции от qm и (qm + qm+) входят в левую часть линейно, то уравнения (3.18) разрешимы относительно qm и (qm+ q^) и, следовательно, зависимости для расчета qm, qm+u qm+2 можно получить в явном виде.

5. Три угла qh qM, qi+2 поворота вокруг трех последовательно ортого­нальных осей вращения, отмеченные знаком* в любых трех последователь­ных столбцах нижней полуматрицы J, начиная с 1-го, могут быть опре­делены в явном виде, как функции параметров механизма, задания и остав­шихся обобщенных координат. Действительно, из (3.14) получим

=м-,’,_1м

(3.19)

пр*

	*	c/s/+l	*“
*	*	s/s/+l	*
S/+lC/+2	“S/+lS/+2	"C/+l	*
0	0	0	1

М|_1>6 =

Из равенства

=|mGm. pJ„

получим уравнение для расчета qM. Элементы третьих столбцов дают уравнение для расчета qh а третьих строк — для расчета qM.

Доказательство сводимости решения обратной задачи к последова­тельному решению уравнений с одним неизвестным выполним с учетом свойств индикаторных матриц, рассмотренных выше.

Для структур с 3+ (см. рис. 3.10) в силу свойств 2 и 3 или 4 всегда существуют уравнения, одно из которых зависит только от одной неизвест­ной координаты, а другое — от двух, включая первую. Вид уравнений определен тремя верхними строками индикаторной матрицы. Три уравнения для оставшихся трех координат находятся затем в силу свойства 5.

В отличие от структур с 3+, структуры, содержащие 3~, разрешаются по трем нижним строкам матрицы J. Первые три уравнения для механизмов с 3′ и 2~ (см. рис. 3.11) получают по п. 5, где в качестве трех неизвестных принимается сумма трех обобщенных координат, сумма двух и одна остав­шаяся. Для получения искомых координат, входящих в известные суммы, используют уравнения (3.18), соответствующие трем верхним строкам мат­рицы J.

В структурах, содержащих 3_ и 2+ (см. рис. 3.11), в одной из трех верх­них строк матрицы J (в нулевой строке блока ё) содержится один ненулевой элемент. После выделения соответствующего уравнения, еще три получим по п. 5, где в качестве одного из неизвестных выступает сумма трех координат. Два оставшихся уравнения для вычисления слагаемых, составляющих известную сумму, получим из системы (3.18).

Таким образом, доказана следующая теорема: пусть задана разомкнутая кинематическая цепь с шестью вращательными парами пятого класса; пусть структура цепи содержит две непересекающиеся группы пар с параллель­ными (U) или пересекающимися (L+) в одной точке осями, причем одна группа содержит три (L = 3), а вторая две (L = 2) пары; тогда решение в явном виде обратной задачи о положениях существует.

На основании этой теоремы решение системы из 6 трансцендентных уравнений может быть сведено к последовательному решению 6 отдельных уравнений с одним неизвестным. Более того, каждое из полученных уравне­ний разрешимо относительно своего неизвестного, поскольку каждое из них имеет не более двух решений. Действительно, для структур с 3+ первое уравнение, выделяемое по верхней полуматрице J, есть уравнение относи­тельно обобщенной координаты, характеризующей положение в индивиду­альной паре (не входящей в группы 3+, 2+, 2~). Уравнение и указанная обобщенная координата являются ключевыми для решения системы в явном виде. Это уравнение имеет два решения, поскольку для всех рассмат­риваемых структур оно представляет собой уравнение решения треуголь­ников. При известной ключевой координате задача сводится к решению обратной задачи для трехзвенных механизмов с двумя степенями свободы: в случае 2_ — плоского механизма с двумя параллельными осями пар; в случае 2+-пространственного механизма с двумя пересекающимися осями. В обоих

случаях задача решается в явном виде и имеет всегда два решения. Еще два решения дает уравнение для qM (см. п. 5). Таким образом, для схем с 3+ всегда получается 8 наборов решений, которые при отсутствии ограничений на углы поворота в шарнирах могут быть реализованы механизмом руки. Аналогично для структур, содержащих 3~, также имеются 8 наборов реше­ний, поскольку два решения, как и для структур с 3+, дает уравнение для qM (или для суммы обобщенных координат), два получаются из уравнения, соответствующего нулевой строке блока е, и, наконец, два оставшихся решения дают уравнения (3.18). Во всех структурах проанализированного класса механизмов 8 наборов решений определяют 8 конфигураций руки, удовлетворяющих программному положению и ориентации захвата.

Используя ту же методику анализа для схем, содержащих одну посту­пательную пару (обозначим ее символом 1п), можно показать, что в явном виде решаются обратные задачи для структур, содержащих 1п и 3+ или 1п и 3", и структур, содержащих группу пар (1п + 2~)+ и 2+ или 2~ (здесь знак плюс у скобки означает, что поступательная пара перпендикулярна осям враща­тельных пар группы). Характерные примеры таких структур и соответст­вующие индикаторные матрицы приведены на рис. 3.13. Заметим, однако, что замена вращательной пары на поступательную может привести к потере степеней свободы захвата (см. раздел 3.6). Так, в структуре 2_-1п-3_ захват имеет 5 степеней свободы.

Кинематические признаки решения обратной задачи для структур, содержащих две поступательные пары, состоят в наличии группы из трех кинематических пар, образующих плоский механизм, и группы 2+ или 2~. Плоский механизм может быть образован структурами, например (1П—1П—1) или (2—1п). Кроме того, решается структура (2~— 1п—1п—2+). Наконец, для структур, содержащих 3 поступательные пары, обратная задача всегда решается в явном виде. Характерные варианты структур с двумя и тремя поступательными парами также приведены на рис. 3.13.