До настоящего времени из-за трудностей динамического анализа и отсутствия рекомендаций разработка любой робототехнической системы велась на кинематическом и статическом уровнях и включала следующие этапы.

1. Определение структуры руки (расположение осей кинематических пар, их число и длины звеньев) по геометрическим характеристикам тре­буемого рабочего объема.

2. Определение параметров силового взаимодействия руки робота с технологическим оборудованием и объектами манипулирования; выбор на этой основе силовых и скоростных характеристик приводов; построение кинематических цепей привода звеньев.

3. Оснащение робота функциональными механизмами: захватами, меха­низмом уравновешивания, механизмом устранения зазоров и т. п.

4. Выбор типа системы управления, исходя из требований обслуживания технологического процесса.

Опыт проектирования и эксплуатации систем, построенных по приве­денному алгоритму, показал, что все геометрические и скоростные пара­метры технологического процесса практически одинаково могут быть удовлетворены в рамках широкого класса структур за счет выбора длин звеньев и ограничений в кинематических парах. Поэтому решающими факторами выбора структуры все больше становятся технологичность конструкции робота и удобство оснащения его функциональными меха­низмами.

Кроме того, с повышением требований к скоростям движений звеньев механических рук промышленных роботов стало ясно, что синтез на кинематическом и статическом уровне недостаточен. Завышение мощности устанавливаемых двигателей не приводит к существенному повышению быстродействия робота, а утяжеление конструкции, обусловленное жела­нием повысить ее прочность, не повышает надежность системы из-за еще более быстрого роста динамических напряжений в конструкции. Для решения проблемы рационального проектирования быстродействующих промышленных роботов необходима разработка концепций построения робототехнических систем, учитывающих динамические эффекты, свойст­венные этим системам, и открывающих новые возможности для проекти­ровщиков. Одна из таких концепций, реализованная авторами данной монографии, — концепция динамической развязки движений по степеням подвижности механической руки [18] — направлена на максимально возмож­ное уменьшение эффектов динамических взаимовлияний, достигаемое средствами механики.

Оценим эффекты динамического взаимовлияния по степеням подвиж­ности механической руки, используя простейшую базовую модель, представленную на рис. 8.2, б. Ее структуру широко используют в конст­рукциях роботов, в частности в роботе Фанук-1. Уравнения динамики этой модели в случае вертикального расположения оси первого шарнира (см. табл. 8.2) имеют вид

+ 2тЯгЯгЯі = Qv mq2-mq2qx =Q2, (8.31)

где Qj и Q2 — моменты, развиваемые (воспринимаемые) приводами поворота и выдвижения соответственно.

Решая первую задачу динамики, зададимся величинами допустимых ускорений qx, q2 и максимальными скоростями qvq2- Пусть, например, qx = 1 с-2, qx =1 с-1, q2 = 1 м/с2, q2 =1 м/с. Рассмотрим движение системы из точки с координатами ql0 = 0, q20 = 0,5 м в точку с координатами qXk = 1 рад, q2k= 1,5 м по законам максимального быстродействия при Яю = Яго = Qik = Яг к = 0-

Для выбранной модели и назначенных ограничениях этот закон соот­ветствует максимальным ускорениям на половине пути по каждой из координат. Графики зависимостей изменения во времени моментов Q, и Q2 и их составляющих Qx = mqxq, Q[‘=2mq2qxq2, Q2 = mqx, Q2’=-mq2qx приве­дены на рис. 8.10. Видно, что 50% требуемого момента расходуется на ком­пенсацию динамического взаимовлияния степеней подвижности модели,

Рис. 8.10. Графики изменения во времени моментов приводов (и их составляющих) для простейшей базовой модели (полярная система) при реализации равноускоренных и равно­замедленных движений

обусловленного обменом энергии между приводами вследствие кориоли — совых и центробежных сил — Q" и Q2 соответственно.

Концепция динамической развязки движений открывает возможность достижения оптимума: максимальное быстродействие при минимальной установленной мощности. Существо и методы динамической развязки сводятся к следующему.

Условию отсутствия динамических взаимовлияний приводов соответст­вует система дифференциальных уравнений механической руки в коор­динатах выходных валов двигателей, каждое из которых содержит только одну такую координату и только ее производные. Это условие можно реа­лизовать наложением некоторых ограничений на коэффициенты уравнений путем выбора структуры механической руки, геометрии масс ее звеньев, структуры передач привода и введением уравновешивающих механизмов. Перечисленные мероприятия необязательно осуществлять одновременно.

В некоторых частных случаях задача динамической развязки решается на уровне структуры механической руки. Действительно, плоский стол с

двумя поступательными ортогональными парами, либо двухкоординат­ная структура, содержащая последовательные соосные вращательную и поступательную пары при диагональных матрицах частных передаточ­ных отношений Ар обеспечивают динамическую независимость движе­ний по отдельным координатам. Эти структуры являются классичес­кими примерами динамически развязанных систем. Задача состоит в том, чтобы системы любой структуры сделать аналогичными им по свойствам.

Достаточность принимаемых мер, что очень важно, можно оценивать не по дифференциальным уравнениям системы, а по выражению функции Лагранжа L = W — U. Необходимо, чтобы выражения кинетической энергии и потенциальной функции всей системы, записанные в координатах у выходных валов двигателей, имели вид

Wv =0,5и¥=ХГ(У,). і = й, (8.32)

1 1

где каждые И f?(уі) — функции только одной координаты у,.

Отсюда следует, что установка любых передаточных механизмов с одной степенью подвижности и любых нелинейных потенциальных на — гружателей или упругих элементов между выходными валами и стойками двигателей не может нарушить условие динамической развязки системы. Поэтому их можно исключить из рассмотрения. Заметим, что при уравно­вешенных силах тяжести (см. гл. 6) звеньев механической руки переменной составляющей в функции Лагранжа останется только кинетическая энергия системы. В дальнейшем предполагается, что при необходимости мы всегда можем уравновесить силы тяжести звеньев и обеспечить U = const. Поэтому в задачах анализа и синтеза динамически развязанных робототехнических систем потенциальная составляющая функции Лагранжа, обусловленная весом звеньев, игнорируется.

Даже при введенных предпосылках, конкретизирующих рассматривае­мые системы, задача синтеза динамически развязанных систем для общего вида функций кУ(Уі) остается до сих пор не решенной. Будем рассмат­ривать частный случай функции (¥,-)> а именно яУ(у,) = к? = const;

i = l, п. В этом случае для механических рук с постоянной матрицей Ар частных передаточных отношений первому выражению (8.32) в обобщен­ных координатах q руки будет соответствовать выражение кинетической энергии с постоянными коэффициентами Пу при квадратах обобщенных

скоростей qf и их произведениях qfij (i, j = 1,н). Следовательно, условием

решения задачи динамической развязки движений в рассматриваемом слу­чае является требование цикличности обобщенных координат меха­нической руки.

В соответствии с полученным результатом синтез динамически развя­занных механических рук со структурой скелета общего вида требует решения двух задач:

1) обеспечение независимости инерционных коэффициентов л? в

выражении кинетической энергии механической руки от ее конфигурации, т. е. от обобщенных координат q-,

2) путем приведения квадратичной формы выражения кинетической энергии к каноническому виду найти такую систему обобщенных координат (координат |/), которая обеспечивает разделение системы с п степенями

подвижности (и п обобщенными циклическими координатами q) на п независимых подсистем.

Во многих случаях конструктивно решение первой задачи достигается введением специальных уравновешивающих механизмов, а второй — путем синтеза структуры передач привода.

Проиллюстрируем решение сформулированных задач на примере простой модели. Начнем с рассмотрения особенностей простейших базовых моделей, проявляющихся при решении поставленных задач. Для простей­шей базовой модели, представленной на рис. 8.2, а, выражение кине­тической энергии (см. табл. 8.2) имеет вид

W = (m2/2)[(/i + /2 +2/]/2 cos<72)?i + 2{l2+ljl2cosq2^qjq2+l2q2^

Условие цикличности координаты q2 требует обращения в ноль коэффициентов при cos q2, т. е. либо = 0, либо 12 = 0. При /, = 0 вы­рождаются кинематическая модель системы (уменьшается размерность рабочей зоны) и ее динамическая модель (уменьшается порядок системы дифференциальных уравнений). Если трактовать 12 как расстояние от оси второго шарнира до центра тяжести второго звена, то условие /2 = 0 не приводит к вырождению кинематической модели, однако динамическая модель при этом условии опять-таки вырождается.

Это обстоятельство свидетельствует лишь об ограниченности простейших базовых моделей: слишком мало число точек размещения масс звена (неучтенным оказался факт существования момента инерции звена). Поэтому несколько изменим простейшую базовую модель, распределив массу второго звена по двум точкам так, чтобы удовлетворялись условия статического размещения масс: т2 + т" = т2, т212 + т%12’= т212 (рис. 8.11).

Очевидно, выражение для кинетической энергии этой модели примет

вид

W = 0,5 {[m’/j2 + (/’ )2 + m^(l2f + 2/, (т212 + щ® cos q2 +

+2[m^(/2)2 +m’2(l£)2 +lx(m’2l2 + m2l2)cosq2^qlq2 + (8.33)

+(тда2+тда%2}.

Как видно, здесь условие цикличности обобщенной координаты q2, а именно =0 не приводит к вырождению динамической мо­

дели системы. Физически оно соответствует условию статического уравно­вешивания масс второго звена относительно оси второго шарнира: /2 и 12

Рис. 8.11. Учет момента инерции второго звена простейшей базовой модели путем размещения его масс по двум точкам

должны иметь разные знаки (массы и т% должны располагаться с разных сторон от оси второго шарнира).

Реализация полученного условия за счет соответствующего распреде­ления масс звена при проектирова­нии трудностей не представляет. Необходимо только из всех возмож­ных вариантов выбрать тот, для которого центральный момент инер­ции второго звена

/2=<(/’)2+тпда2

минимален. От величины этого момента инерции существенно зависят моменты приводов, необходимые для обеспечения заданных ускорений по обобщенным координатам.

Реализовав найденное условие цикличности, вместо (8.33) можем записать

W = 0,5[(т2/2 + I2)qf + 2I2qxq2 + I2q22 (8.34)

Полученная квадратичная форма

W = 0,5qrn*q = 0,5XX^*

і=і *=і

является действительной, симметрической, положительно определенной, с постоянными коэффициентами. Известно [9, 20, 26], что линейная

подстановка q = Riji переводит каждую квадратичную форму в квадра­тичную форму от новых переменных j/

0,5qrIF<7 = 0,5£ £ = 0,5ф7ЇГ, ф,

і=1 к=

где

п* = 2 X K%rprhk (І, к = 12),

j= 1 Й=1

или в общем виде

П4′ = RrIFR. (8.35)

Для каждой данной действительной симметрической квадратичной фор­мы существует такое линейное преобразование q = Rt|i с действительными

коэффициентами rih после которого новая матрица П¥ в (8.35) будет диагональной. Причем, как канонический вид данной квадратичной формы, так и преобразование R, приводящее к этому виду, не определены од­нозначно. Возникает проблема выбора преобразования R.

Существующие методы приведения квадратичной формы к канони­ческому виду: метод Лагранжа, метод Якоби и метод ортогонального преобразования [26], не включают решение задачи целенаправленного преобразования с заданными свойствами. Мало того, из этих методов лишь метод ортогонального преобразования при условии, что используют только координатные системы с одним и тем же масштабом, приводит к единст­венному каноническому виду.

Ограничимся рассмотрением преобразований R, дающих одинаковый масштаб координат q и ф. Этому условию соответствует равенство

детерминантов I П4′ I и 1П91 квадратичных форм. Так как имеет место равенство

liri = |lF||R|2,

то детерминант рассматриваемых преобразований R должен быть равен единице.

Найдем канонический вид квадратичной формы (8.34) с помощью ортогонального преобразования. При ортогональном преобразовании Rr= R-1 и, следовательно, IIV = R-1IFR.

mj/2 +12 — X /2

По матрице IF квадратичной формы (8.34) составим характе­ристическое уравнение

= 0

/2-X

Я?;

*12 А.

и найдем его корни

X, = ll2 + щіх + — filf+mЩ / 2,

Х2 = (2/2 + щі2 — л/4/22+т22/14) / 2.

Для каждого корня Хь найдем собственные нормированные векторы г, ={ги, г21} и г2 ={г12,г22} такие, что г,2 + r22 = 1 и г12+г22=1. Координаты векторов г, и г2 задаются системами уравнений

К<-^Н+<2Г2,=0

пчпги + (nq22 — Х,)/-2,. =0, і = 1,2.

Определив отсюда компоненты г;ї (j = 1, 2), получим матрицу R

% fa} (d/^Jd2+i — i/Vd2+T

^21 ггг) + l dNd1 + 1 J’

где D = [mrf + A/4/2 + m22Z14) / 272.

Матрица R определяет систему передач между двигателями и звеньями механической руки. Так как мы условились (см. гл. 5) матрицу частных передаточных отношений кинематических передач руки обозначать через Ар, так что vj/ = Apq, то Ар в рассматриваемом случае должна быть

Ар = R”1 = RT

"р/Ур2+і i/Vd2+i ^ k-/-Jd2+ d/Vd2+і/

Реализация системы механических передач в соответствии с полученной матрицей частных передаточных отношений Ар обеспечит динамическую развязку системы в координатах |/. В этих координатах выражение кинети­ческой энергии примет вид

Vt = 0,5(1y2l+X2y22),

а матрица инерционных коэффициентов будет

Недостатком найденного решения является зависимость элементов матрицы частных передаточных отношений от инерционных параметров системы т2, /2, 11- Кроме того, техническая реализация передач в соот­ветствии с полученной матрицей Ар для модели, приведенной на рис. 8.2, а усложнена.

Эти обстоятельства побуждают искать матрицу R в классе матриц (теперь уже неортогональных) с элементами, независящими от параметров модели. Как отмечалось выше, регулярного метода целенаправленного определения такой матрицы нет. Приходится пользоваться методом проб и ошибок, "подключать" интуицию разработчика с учетом знания физических особенностей конкретных моделей. Так, для рассматриваемой модели, представленной на рис. 8.2, а найдено преобразование с матрицей

приводящее квадратичную форму (8.34) к каноническому виду

W = 0,5(/n2/2j/2 + /2j/2).

В справедливости приведенных выражений нетрудно убедиться подста­вив выражения обобщенных скоростей q, определяемых матрицей R, в (8.34). Заметим, что приведением квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа также можно доказать их справедливость.

Матрица Ар частных передаточных отношений синтезируемых передач привода в этом случае принимает вид

Согласно этой матрице (см. раздел 5.6) необходимо установить два двигателя на основании, связать один из них с первым звеном модели не­посредственно, а второй с помощью кинематической передачи с передаточ­ным отношением +1 (например, механизмом пантографа) связать со вторым звеном (см. рис. 5.1, б).

В соответствии с матрицей инерционных коэффициентов

в этом случае инерционная нагрузка по обобщенной координате у2 целиком

определяется моментом инерции второго звена /2.

Таким образом, приведенный пример не только подтвердил возмож­ность полной динамической развязки системы, но и выявил основные пути ее достижения и некоторые трудности на этом пути.

В заключение этого раздела отметим, что концепция динамической раз­вязки отнюдь не предполагает достижения полной динамической развязки движений по степеням подвижности во всех разрабатываемых робототехни­ческих системах. Она позволяет понять некоторые эффекты и наметить пути их полезного использования, а также определить тенденции развития и принципы построения робототехнических систем с теми или иными динами­ческими свойствами. Поэтому эта концепция имеет в первую очередь боль­шое методологическое значение. Вместе с тем при практической реализа­ции концепции динамической развязки появляются возможности повы­шения эффективности разрабатываемых промышленных роботов, а именно за счет:

1) уменьшения нагрузок в приводных элементах робота и снижения установленной мощности приводов робота при сохранении (или даже повышении) его быстродействия;

2) существенной экономии энергии (на порядок) и многократного по­вышения быстродействия при цикловом управлении за счет введения в систему рекуператоров механической энергии (динамическая развязка в этом случае обеспечивает одновременную работу приводов с рекупера­торами механической энергии) [18];

3) повышения точности и устойчивости многомерной системы автома­тического регулирования при сведении к минимуму эффектов динами­ческой связанности ее подсистем;

4) статического уравновешивания звеньев руки ПР и динамической раз­вязки движений по степеням подвижности робота (в этом случае можно ис­пользовать электропривод с малым передаточным отношением редуктора, а по некоторым степеням подвижности вообще отказаться от редуктора).

Такой подход способствует повышению надежности робототехнической системы в целом. Причем даже неполная динамическая развязка может привести к значительным выигрышам. Учитывая открываемые перспек­тивы, можно говорить об актуальности исследований по определению условий динамической развязки в различных кинематических структурах механических рук роботов, а также разработок конкретных механизмов частичного и полного устранения динамических взаимовлияний по степеням подвижности роботов.